考向15等比数列-2022年高考数学一轮复习考点微专题

考向15等比数列1．（2016·上海高考真题（理））已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是.A．B．C．D．【答案】B【详解】试题分析：由题意得：，所以，所以对一切正整数恒成立，当时，不恒成立，舍去；当时，，因此选B.【考点】数列的极限、等比数列求和【名师点睛】本题解答时确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2．（2017·上海高考真题）在数列中，，，则A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在【答案】B【详解】数列中，，则，故选B.3．（2014·上海高考真题（理））设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q=______.【答案】【解析】由题意，即，∵，∴.【考点】无穷递缩等比数列的和.4．（2010·上海高考真题）定义域为R，且对任意实数都满足不等式的所有函数组成的集合记为M，例如，函数．（1）已知函数，证明：；（2）写出一个函数，使得，并说明理由；（3）写出一个函数，使得数列极限【详解】本题开考查分段函数、不等式与数列极限.1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±eq\r(xy).2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.4数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．（注：不一定是中的项）5.几个重要极限：（3）（2）（C是常数）（4）6．极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；7.数列极限的运算法则:如果那么8．无穷等比数列的各项和（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做（2）一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）设数列，下列判断一定正确的是（）A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列【答案】C【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.【详解】对于A，若，则，，则，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误；对于B，当时，满足，但数列不为等比数列，故B错误；对于C，由可得，则，所以，故为公比为2的等比数列，故C正确；对于D，由可知，则，如1，2，6，12满足，但不是等比数列，故D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列，若，则数列为等比数列；（2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等比数列；（3）通项公式法：若（均是不为0的常数），则数列为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意的判断.2．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）已知函数各项均不相等的数列满足.令.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由题意，函数是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，所以在上也是增函数，即时，，对于（1），，即可判断；对于（2），运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于（3），运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数的单调性，即可判断；【详解】由题意得，所以是奇函数，只需考查函数在的性质，此时，都是增函数，所以在上也是增函数，即函数在上也是增函数，设若，则，，即若，则，，即所以时，，对于（1），取，，故（1）正确；对于（2），，又令，则又，知，则，则，，又在上单减，，即，，即，则，由的任意性可知，，又，所以，故（2）正确；对于（3），数列是等差数列，若，则；若，即，又是奇函数也是增函数有，可得；同理：若，可得；若，可得；相加可得：若，可得，即；同理若，可得，即，故（3）正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.3．（2020·上海杨浦区·复旦附中高三期末）用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据等比数列前项和公式求，再利用二项式定理求解，之后根据的范围求极限即可.【详解】解：∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.故选：B.【点睛】本题考查等比数列前项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力.二、填空题4．（2020·上海市进才中学高三期中）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为______.【答案】【分析】根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果.【详解】因为等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，所以，当为奇数时，，显然单调递减，因为，所以，又，所以；当为偶数时，，显然单调递增，因为，所以，又，所以，综上，对任意的，都有，所以，，则，所以，即，因此对任意的，都有；为使对任意的，均有恒成立，只需，，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出后，利用分类讨论的方法，根据的单调性，求的最值，进而即可求解.5．（2020·上海高三专题练习）已知点列在轴的投影为，且点满足，直线的斜率．则多边形的面积为____．【答案】【分析】根据题意，得出，运用累加法和等比数列的求和公式，求出，得出第个梯形的面积，最后利用分组求和法以及等比数列的求和公式，即可求出多边形的面积.【详解】解：由题可知，直线的斜率，即，可得，则，，，，，累加后，得，即，而，可以求得，则，根据题意，可以将该多边形分成个直角梯形来算，且从左往右，第个梯形的面积为：，得，，，，所以多边形的面积为：，则即，所以多边形的面积为：.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用，以及利用累加法求数列通项公式和利用分组求和法对数列进行求和，进而求出多边形的面积，考查转化思想和运算能力.三、解答题6．（2020·上海高三专题练习）设数列的首项，且，记，．（1）求；（2）判断是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求．【答案】（1）；（2）是等比数列，证明详见解析；（3）【分析】（1）利用数列的递推公式可计算出、；（2）证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（3）求出数列的前项和，利用极限的运算法则可计算出所求极限值.【详解】（1），，；（2），所以，，且，所以，数列是等比数列；（3）由（2）知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，因此，.【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了等比数列的证明以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．（2020·上海高三专题练习）已知数列满足条件：，且是公比为的等比数列，设.（1）求出使不等式成立的的取值范围；（2）求和，其中；（3）设，求数列的最大项和最小项的值.【答案】（1）；（2）；（3）数列有最大值；数列有最小值.【分析】(1)利用数列满足条件:，，且是公比为的等比数列，可得公比的不等式，故可求q的取值范围；(2)先考虑相邻项的关系,可知比值为常数，故可知数列是等比数列，由于公比不定，故要进行分类讨论；(3)先求数列的通项，再利用单调性,研究其最值.【详解】(1)由题意得，则不等式即为，由题设，，故从上式可得

,，故；(2)由（1）得，所以，，所以，，所以是首项为，公比为q的等比数列，所以，

当时，，；当时，；当时，；，(3)从上式可知,设，当时,递减，，当时，递减,，，所以当时，数列有最大值；当时，数列有最小值.【点睛】本题以等比数列为依托，考查数列的和的极限，考查数列中的最大与最小项，综合性强，关键在于由递推项之间的关系得出所求数列的通项，运用数列的单调性求最值，属于难题.一、单选题1．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三）若无穷等比数列各项的和为4，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据无穷等比数列各项的和为4，得到，求得，进而得到求解.【详解】因为无穷等比数列各项的和为4，所以，解得，所以，由二次函数的性质得：，故选：D二、填空题2．（2020·上海市建平中学）已知公比为的等比数列满足，则__________________．【答案】1【分析】根据等比数列通项公式可得，化简整理，即可得结果.【详解】因为为等比数列，且，所以，即，解得，故答案为：13．（2020·上海）设f（n）＝2+24+27+210+⋅⋅⋅+23n+1（n∈N*），则f（n）＝_____．【答案】【分析】利用等比数列前项和公式直接求解．【详解】解：，．故答案为．【点睛】本题考查等比数列的前项和的求法，考查运算求解能力，是基础题．4．（2020·宝山·上海交大附中高三期中）在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第________项【答案】5【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】由题得等比数列的通项为所以与1最接近.所以最接近于1的项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．（2020·上海嘉定·高三）设各项均为正数的等比数列的前项和为，则______．【答案】63.【分析】先由,求出等比数列的公比，再和等比数列的前项和公式求出【详解】由，得．故答案为:63【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于容易题.6．（2021·上海）无穷等比数列首项为，公比为的等比数列前项和为，则，则________．【答案】【分析】由题意可知，由无穷递缩等比数列的各项和可得，解方程可得．【详解】由于公比为的等比数列前项和的极限存在，则，且，由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的各项和，考查计算能力，属于基础题．7．（2021·上海交大附中高三开学考试）已知无穷等比数列的前n项和，则此无穷等比数列各项和是_________．【答案】【分析】首先根据和之间的关系求得，，从而，求极限即可.【详解】当时，，当时，，根据题意时也满足，所以，所以，所以，此无穷等比数列各项和是，故答案为：8．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）在数列中，若对一切都有且，则的值为__________【答案】【分析】由递推关系可知数列和均为等比数列，由等比数列求和公式和极限的思想可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得.【详解】若，则，不合题意，；，数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，，解得：，.故答案为：.9．（2021·上海高三）在无穷等比数列中，，，记，则___________.【答案】【分析】根据等比数列定义求得通项，从而代入，利用等比数列求和公式求解即可.【详解】由题知，，则，则故答案为：10．（2021·上海黄浦·高三）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，则___________.【答案】【分析】首先求出等比数列的其前项和记为，最后再求极限即可.【详解】因为等比数列的首项为2，公比为，所以前项和记为，.故答案为：11．（2021·上海长宁·高三）设数列的前项和为，则_____【答案】3【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系，求得通项公式，进而得到，然后求和即可.【详解】由，得，∴，得，即，由，得，所以，所以，所以.故答案为：．三、解答题12．（2021·上海静安·高三）将正奇数1，3，5，7，按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设是位于这个数阵中第行（从上往下数）、第列（从左往右数）的数．（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求、的值；（3）若记这个数阵中第行各数的和为，数列的前n项和为，求极限的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由已知，这个数阵的第n行有个数，然后求出前行的个数，然后可得答案；（2）令，然后可求出答案；（3）依次求出、，然后由极限的知识可得答案.【详解】（1）由已知，这个数阵的第n行有个数，所以前行一共有个数（2）令，满足不等式的最大整数为10．解得所以（3）由题意，，所以所以，一、填空题1．（2021·上海高三）设无穷等比数列的公比为，若，则________【答案】【分析】由题意判断得公比满足且，化简，可得关于的一元二次方程，结合的范围求解得答案.【详解】因为数列是无穷等比数列，且存在，所以公比满足且，由，所以，所以，所以，又，所以.故答案为：.【点睛】解答本题的关键是根据数列的极限存在判断得公比的取值范围，然后再化简计算得关于公比的二次方程求解.2．（2021·上海金山·高三）若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为_______．【答案】；【分析】根据等比数列的前项和公式求出，根据无穷递缩等比数列各项和公式求出，再分组求和求出，最后利用极限知识可求出结果.【详解】依题意得，，所以，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的前项和公式，掌握无穷递缩等比数列各项和公式以及数列极限知识是解题关键.3．（2021·上海复旦附中高三）已知无穷等比数列的各项和为1，则首项的取值范围是__________.【答案】【分析】由无穷等比数列的各项和可得：，且，然后通过不等式的知识可得答案．【详解】解：由题意可得：，且，故可得，由可得，且故，且，2且，故答案为：，，4．（2021·上海普陀·高三）设Pn(xn，yn)是直线3x+y=(n∈N*)与圆x2+y2=5在第四象限的交点，则极限=___________.【答案】【分析】当时，，求出其与圆在第四象限的交点无限靠近，由的几何意义结合圆的切线的斜率求解．【详解】当时，，直线与圆在第四象限的交点无限靠近，而可看作点，与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，．故答案为：．【点睛】本题考查极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2021·上海黄浦·格致中学）若展开式中的常数项为5，____________.【答案】【分析】先求出二项式的展开式的通项为，令可求，结合已知常数项的值可求，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限.【详解】由题意二项式的展开式的通项为，令可得，所以，则.故答案为：【点睛】方法点睛：求二项式展开式的指定项，一般利用展开式的通项分析求解.6．（2021·上海市嘉定区第一中学）设为等比数列的前项和，若，，，则的公比的取值范围是______．【答案】【分析】首先讨论和时不符合题意，可得，再由等比数列前项和公式求出，由即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，若，则与矛盾，，若，则与矛盾，所以，因为，则所以，可得，故答案为：.7．（2020·上海市进才中学高三期中）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为______.【答案】【分析】根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果.【详解】因为等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，所以，当为奇数时，，显然单调递减，因为，所以，又，所以；当为偶数时，，显然单调递增，因为，所以，又，所以，综上，对任意的，都有，所以，，则，所以，即，因此对任意的，都有；为使对任意的，均有恒成立，只需，，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出后，利用分类讨论的方法，根据的单调性，求的最值，进而即可求解.8．（2021·上海高三）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.【答案】【分析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.【详解】设等比数列的公比为，则（常数），所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，因为，同理可得，因此，.故答案为：.【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则.9．（2021·上海交大附中高三开学考试）已知数列为等差数列，若，则．类比等差数列的上述结论，对等比数列，若，则当时可以得到_________．【答案】【分析】运算类比：差类比商，积类比乘方，商类比开方，由此有【详解】设，则，，所以，故答案为：．10．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可求得4000的所有正约数之和为_____________【答案】9828【分析】先将分解为的幂与的幂相乘的形式，即为，再根据正约数之和为求解出结果.【详解】因为，所以的所有正约数之和为，故答案为：.11．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知，函数的图像与y轴相交于点，与函数的图像相交于点，，的面积为，（O为坐标原点），则____________【答案】12【分析】先作出图像，然后分别考虑当时所趋近的点，由此可计算出的值.【详解】依据题意作出大致图像如下图，因为且，，当时，趋近于，趋近于，当时，函数的图像趋近于渐近线，趋近于，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于通过图像分别考虑时的极限，利用数形结合的方法求解结果.二、解答题12．（2020·上海杨浦·高三）设数列与满足：的各项均为正数，.（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：，，公比为由解得，数列的通项公式为.（2）证明：反证法，设存在则，此时公比，考虑不等式当时，即时，有(其中表示不超过x的最大整数)，这与的值域为矛盾假设不成立，得证（3）解：，由等差数列性质即，特别地，，现考虑的最大值为使取最大值，应有，否则在中将替换为，且，将得到一个更大的由可知，特别地，；于是解得，所以的最大值为8.【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．13．（2021·上海高三）若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的（）倍，则称该数列具有性质.（1）已知数列，，具有性质，求实数的取值范围；（2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；（3）记（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用新定义列出不等式组，求解即可；（2）通过令，，，分别利用新定义，列出不等关系式，求解的最大值；（3）令，验证条件Ⅰ，利用数列收敛于，判断条件Ⅱ，通过，得，即可证明.【详解】（1）由题意可知，，得；（2）当时，，，所以；当时，，，；当时，，，，综上，的最大值为.（3）证明：令，显然具有性质，且满足条件（Ⅰ），当，满足条件（Ⅱ），，即，所以，所以，即证.【点睛】本题考查了数列的新定义与数列的敛散性问题，注意利用等比数列的前项和的公式代入求解判断，判断数列的敛散性需要结合数列的极限值判断出数列收敛于某个确定的值.14．（2022·上海）已知数列为等差数列，且，．数列是各项均为正数的等比数列，，且对任意正整数都有成立．（1）求数列、的通项公式；（2）求证：数列中有无穷多项在数列中；（3）是否存在二次函数和实数，使得为数列中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的的解析式和对应的实数a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）由，，可得，从而可求出，进而可得，由可求出公比，从而可求出；（2）令得，所以，取，则可得能够被3整除，从而可得结论；（3）设，设，则，，，代入函数中化简得，则可得，所以不存在这样的二次函数【详解】解：（1）设数列公差为d，则，，所以．设数列公比为q，由条件得，解得，从而．（2）令得，所以，取，则所以能够被3整除，所以此时，即时，是数列中的项，从而数列中有无穷多项在数列中．（3）设，若为数列中连续4项，设，则，，，所以于是于是，所以，矛盾．所以不存在二次函数和实数，使得为数列中连续4项．【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查函数与数列的应用，考查计算能力，第3问解题的关键是假设为数列中连续4项，设，则，，，从而有，化简后得到矛盾，从而可得结论，属于较难题15．（2021·上海交大附中高三开学考试）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由定义可知，，再利用数列与的关系，求数列的通项公式；（2）由定义，利用数列与的关系，得，，可知，再由定义变形推得矛盾.【详解】解：（1）数列为“数列”，则，所以，两式相减得：，又时，，所以，故对任意的恒成立，即，故数列为等比数列，其通项公式为．（2）假设存在这样的数列，则有，故有，两式相减得，，则又．同理，由是“数列”可得，，所以对任意的恒成立，所以，即①又，即②①②两式矛盾，故不存在数列既是“数列”，也是“物列”．一、单选题1．（2021·山东高考真题）在等比数列中，，，则等于（）A． B．5 C． D．9【答案】D【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可.【详解】由题设，，∴．故选：D2．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.3．（2015·上海高考真题（理））设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得：因为与圆在第一象限的交点为，所以，又由得选A.考点：极限4．（2015·上海高考真题（文））设是直线与圆在第一象限的交点，则极限.A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是直线与圆在第一象限的交点，而是经过点与的直线的斜率，由于点在圆上.因为，所以.考点：圆的切线，极限.5．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.二、解答题6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列