专题04三角函数必考题型分类训练-冲刺2023年高考数学热点重难点题型解题方法与策略真题演练（新高考专用）

专题04三角函数必考题型分类训练【二年高考真题练】一．选择题（共15小题）1．（2021•全国）已知tanx＝2，则＝（）A．3 B． C． D．【分析】由已知把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：由tanx＝2，得cosx≠0，∴＝．故选：B．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．2．（2021•乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（）A．sin（﹣） B．sin（+） C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．【解答】解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，∴把函数y＝sin（x﹣）的图像，向左平移个单位长度，得到y＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得f（x）＝sin（x+）的图像．故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，属基础题．3．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）A． B． C． D．【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故选：B．【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．4．（2021•全国）函数y＝cos2x+sinxcosx图像的对称轴是（）A．x＝+（k∈Z） B．x＝﹣（k∈Z） C．x＝kπ+（k∈Z） D．x＝kπ﹣（k∈Z）【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后结合正弦函数的性质求解．【解答】解：y＝cos2x+sinxcosx＝＝＝．由2x+＝，k∈Z，得x＝，k∈Z．∴函数y＝cos2x+sinxcosx图像的对称轴是x＝+（k∈Z）．故选：A．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是基础题．5．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．【解答】解：由题意可得：＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin2A+cos2A＝1是解题的关键，属于中等题．6．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A．【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．7．（2021•甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A． B． C． D．【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值．【解答】解：由tan2α＝，得，即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，则cosα＝＝，∴tanα＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．8．（2021•乙卷）cos2﹣cos2＝（）A． B． C． D．【分析】法一、直接利用二倍角的余弦化简求值即可．法二、由诱导公式即二倍角的余弦化简求值．【解答】解：法一、cos2﹣cos2＝＝＝．法二、cos2﹣cos2＝cos2﹣sin2＝cos＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．9．（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）＝f（﹣）＝，则φ＝（）A．2kπ+（k∈Z） B．2kπ+（k∈Z） C．2kπ﹣（k∈Z） D．2kπ﹣（k∈Z）【分析】由题意，可得函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．再检验选项，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ），f（）＝f（﹣）＝，∴函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即sinφ＝1或sinφ＝﹣1，故φ＝2kπ+（k∈Z）．或φ＝2kπ﹣（k∈Z）．∴sin（+φ）＝sin（﹣+φ）＝①．不妨k＝0时，φ＝时，①不成立；当φ＝﹣时，①成立，故φ＝2kπ﹣（k∈Z），故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．10．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1 B． C． D．3【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．11．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）A． B． C． D．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，则令k＝0，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．12．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所以＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosα+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．13．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．14．（2021•乙卷）函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．【解答】解：∵f（x）＝sin+cos＝sin（+），∴T＝＝6π．当sin（+）＝1时，函数f（x）取得最大值；∴函数f（x）的周期为6π，最大值．故选：C．【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2022•甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】构造函数f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：设f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函数线可得x）时，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．综上：c＞b＞a，故选：A．【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．二．多选题（共1小题）（多选）16．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减 B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴 D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；f（x）＝sin（2x+），求导可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三．填空题（共4小题）17．（2022•全国）若tanθ＝3，则tan2θ＝．【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解．【解答】解：由tanθ＝3，得tan2θ＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．18．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝﹣．【分析】根据图象可得f（x）的最小正周期，从而求得ω，然后利用五点作图法可求得φ，得到f（x）的解析式，再计算f（）的值．【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣）＝π，所以ω＝＝2，因为f（）＝0，所以由五点作图法可得2×+φ＝，解得φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），所以f（）＝2cos（2×﹣）＝﹣2cos＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查由y＝Acos（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．19．（2022•乙卷）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为3．【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T＝，若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，则φ＝，所以f（x）＝cos（ωx+）．因为x＝为f（x）的零点，所以cos（+）＝0，故+＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，因为ω＞0，则ω的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．20．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为2．【分析】观察图像，，即周期为π，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知x＞，即最小正整数为2．【解答】解：由图像可得，即周期为π，∵，T＝π，∴，观察图像可知当，，，∵2∈（），且，∴x＝2时最小，且满足题意，故答案为：2．【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．四．解答题（共1小题）21．（2021•浙江）设函数f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范围，再利用整体法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．【解答】解：函数f（x）＝sinx+cosx＝，（Ⅰ）函数y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T＝；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x﹣）＝＝sinx+cosx）sinx＝＝＝sin（2x﹣）+，因为x，所以2x﹣，所以当2x﹣，即x＝时，ymax＝1+．【点评】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基础题．【二年自主招生练】一．选择题（共4小题）1．（2022•山西自主招生）已知A＝{y|y＝sin（ωn+φ），n∈Z}，若存在φ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A． B． C． D．【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，结合诱导公式判断是否存在φ使得集合A中恰有3个元素，再确定ω的取值．【解答】解：对A，当时，，函数的周期T＝，在一个周期内对n赋值，当n＝0时，y＝sinφ，当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，，当n＝6时，，令时，，所以，，，所以存在φ使得n＝1时的y值等于n＝6时的y值，n＝2时的y值等于n＝5时的y值，n＝3时的y值等于n＝4时的y值，但当n＝0，1，2，3时，不存在φ使得这个y值中的任何两个相等，所以当时，集合A中至少有4个元素，故A错误；对B，当时，y＝sin（+φ），函数的周期T＝，在一个周期内对n赋值，当n＝0时，y＝sinφ，当n＝1时，y＝sin（），当n＝2时，y＝sin（），当n＝3时，y＝sin（）＝sin（﹣），当n＝4时，y＝sin（）＝sin（﹣），令φ＝，sin＝1，sin（）＝sin（﹣）＝cos，sin（）＝sin（﹣）＝cos，所以时，符合题意，故B正确；对于C，当时，，函数的周期，在一个周期内对n赋值，当n＝0时，y＝sinφ，当n＝1时，y＝sin（）＝cosφ，当n＝2时，y＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，当n＝3时，，令φ＝0，则sin0＝﹣sin0＝0，cos0＝1，﹣cos0＝﹣1，所以当时，符合题意，故C正确；对于D，当时，，函数的周期为，在一个周期内对n赋值，当n＝0时，y＝sinφ，当n＝1时，，当n＝2时，，令φ＝0，sin0＝0，，，所以当时，符合题意，故D正确；故选：A．【点评】本题一共有三个变量：ω，n，φ属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可，属于难题．2．（2022•上海自主招生）对∀x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A． B．1 C． D．【分析】由余弦函数的最值和相应自变量的取值，令k＝0，可得所求最小值．【解答】解：对∀x∈R恒成立，可得f（x）的最大值为f（），且为1，则﹣＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k+，k∈Z，由ω＞0，可得k＝0时，ω的最小值为．故选：D．【点评】本题考查三角函数的最值和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．（2022•上海自主招生）＝（）A． B． C．2 D．1【分析】由两角差的正弦公式、正切公式，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求值．【解答】解：tan15°+2sin15°＝tan（45°﹣30°）+2sin（45°﹣30°）＝+2×＝2﹣+﹣1＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的求值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．4．（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx，则f（x）的最大值为（）A．4 B． C．6 D．5+2【分析】先将f（x）化为f（x）＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，然后利用基本不等式和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求f（x）的最大值．【解答】解：f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx＝2sinxcosx+4cosx+2sinx＝2cosx（sinx+2）+2sinx＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，显然sinx+2＞0，由于要求f（x）的最大值，所以只需考虑cosx+1＞0的情况即可，当cosx+1＞0时，2（cosx+1）（sinx+2）﹣4≤2（）2﹣4＝2[]2﹣4≤2×﹣4＝，当且仅当，即x＝2kπ+（k∈Z）时等号成立，因此当x＝2kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值．故选：B．【点评】本题考查三角函数的最值和基本不等式的应用，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．二．填空题（共2小题）5．（2022•北京自主招生）若tanα＝3tanβ（0≤β＜α≤），则α﹣β的最大值为．【分析】由题意利用两角差的正切公式求得tan（α﹣β）的表达式，再利用基本不等式求得它的最大值，可得α﹣β的最大值．【解答】解：设x＝α﹣β，则0≤x＜，tanx＝tan（α﹣β）＝＝＝≤＝，当且仅当cotβ＝3tanβ，即β＝时，tanx取最大值，此时α＝，于是x的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角差的正切公式、基本不等式的应用，属于中档题．6．（2022•山西自主招生）已知直线y＝m与函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A，B，C满足2|AB|＝|BC|，则实数m＝1或2．【分析】根据题意将条件转化为直线y＝m﹣与函数y＝sin（ωx+）的图象相交，由三角函数的周期性结合已知得出|AB|的长并用A和B的横坐标之差表示，再结合A和B的中点函数值取最值即可求解．【解答】解：由题知，直线y＝m与函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的图象相交，等价于直线y＝m﹣与函数y＝sin（ωx+）的图象相交，设A（x1，m﹣），B（x2，m﹣），C（x3，m﹣），所以|AC|＝，又由2|AB|＝|BC|得，|AB|＝|AC|＝，即x2﹣x1＝，化简得ωx2﹣ωx1＝，①由题知点A和点B的中点坐标为（，m﹣），当直线y＝m﹣与y＝sin（）的交点在x轴上方时，，即，化简得，k∈Z，②由①②联立得，所以，即m﹣＝，解得m＝2；当直线y＝m﹣与y＝sin（）的交点在x轴下方时，，即，化简得，k∈Z，③由①③联立得，所以，即，解得m＝1，所以m＝1或2，故答案为：1或2．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，用到了分类讨论的思想，属于难题．三．解答题（共5小题）7．（2022•南京自主招生）若α，β∈（0，π），求满足cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝的α，β的值．【分析】构造向量＝（1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），则可求•，||2•||2，由（•）22≤||2•||2，整理得（cosβ﹣）2≤0，解得cosβ，结合范围即可得解．【解答】解：原等式化为（1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ①构造向量＝（1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），则•＝（1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ，||2•||2＝[（1﹣cosβ）2+sin2β]•[cos2α+sin2α]＝2﹣2cosβ，因（•）22≤||2•||2，于是有（﹣cosβ）2≤2﹣2cosβ，整理得（cosβ﹣）2≤0，∴cosβ＝．又β∈（0，π），∴β＝．同理可得α＝．【点评】对于某些三角问题，若能合理地构造向量，利用向量来解，往往可使问题得到快捷方便地解决，本题主要考查了平面向量及应用，三角函数恒等变换的应用，属于难题．8．（2021•上海自主招生）求由曲线，x2+y2≥2围成的面积．【分析】由曲线，x2+y2≥2围成的面积S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），由此能求出结果．【解答】解：如图，S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），∵OE＝OD＝，OA＝＝OC，∴•h＝，由余弦定理得cos∠AOC＝﹣1，由题意得，∴S扇形OAB＝＝arcsin（），∴由曲线，x2+y2≥2围成的面积为：S＝2π﹣4arcsin（）﹣2＝4arccos（）﹣2．【点评】本题考查曲线围成的图形面积的求法，考查余弦定理、三角形面积公式、扇形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．9．（2022•北京自主招生）y＝sinx在区间[t﹣1，t]上的最大值为M（t），最小值为N（t），若t∈[，]，求M（t）﹣N（t）的最大值．【分析】结合函数y＝sinx的图象，根据单调性，确定表达式M（t）﹣N（t），再利用两角和差公式化简即可．【解答】解：函数y＝sinx的周期为6，函数y＝sinx在[，]上递减，当t∈[，]时，[t﹣1，t]⊆[，]，M（t）﹣N（t）＝sin﹣sin＝sin﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤1．当+＝，即t＝时取最大值1．【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．10．（2021•上海自主招生）已知△ABC中，tanC＝﹣3tanA，求tanB最大值．【分析】通过tanB＝tan[（A+B）﹣A]利用公式展开，把tan（A+B）＝2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．【解答】解：∵tanC＝﹣3tanA，∴可得3tanA＝tan（A+B），∴tanB＝tan（A+B﹣A）＝＝＝，∴A，B均为锐角，∴tanA＞0，且≥2，当且仅当＝3tanA，即tanA＝时取“＝”号，∴0＜tanB＝≤，∴tanB最大值是，此时B＝A＝，C＝．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题，考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力，属于中档题．11．（2021•广东自主招生）求函数的取值范围．【分析】考虑函数g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1⩽x⩽1）的单调性和取值情况，得到6cosx﹣3cos2x﹣4cos3的最值情况，进一步观察可发现同样在x＝π和x＝时取得最小值和最大值，由此求出f（x）的最大值和最小值，即可得到取值范围．【解答】解：令g（x）＝6x﹣3x2﹣4x3（﹣1⩽x⩽1），则g′（x）＝﹣6（2x2+x﹣1）＝﹣6（2x﹣1）（x+1），当x∈[﹣1，）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（，1]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则，则6cosx﹣3cos2x﹣4cos3在x＝π时取最小值﹣5，在时取最大值．另一方面，我们注意到在x＝π时取最小值，在时取最大值．这说明，所以．【点评】本题考查了三角函数的最值问题，构造合适的函数是解题的关键，属于中档题．【最新模拟练】一．选择题（共9小题）1．（2023•湖北模拟）设，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得．【解答】解：由题意得，∵，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．2．（2023•湖南模拟）已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】根据余弦函数的性质，可得单调区间长度小于等于半周期，可得﹣2≤ω＜0，再利用整体代换法，即可求得，取k＝0即可得出结果．【解答】解：函数的最小正周期，所以，即﹣2≤ω＜0，当时，，依题意知，k∈Z，解得，又﹣2≤ω＜0，∴当k＝0时成立，．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．3．（2023•屯昌县二模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A． B． C． D．【分析】根据三角函数图象的变换关系，求解即可得出答案．【解答】解：函数的周期为，图象向右平移个周期，即平移后，所得图象对应的函数为，即，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查转化思想，属于基础题．4．（2023•河南模拟）已知函数，其图象的两相邻对称中心间的距离为4，若，则（）A． B．f（x）图象的对称轴方程为 C．f（x）在上单调递减 D．不等式f（x）≥2的解集为【分析】根据条件可得出f（x）的周期为8，从而求出，再根据及|φ|可求出，从而得出；解，k∈Z即可得出f（x）的对称轴方程；根据即可得出的范围，从而判断选项C是否正确；由f（x）≥2可得出，解出x的范围即可判断D的正误．【解答】解：∵f（x）图象的两相邻对称中心的距离为4，∴f（x）的周期为8，∴，，又，∴，且|φ|，∴，∴，解得f（x）的对称轴方程为：，k∈Z，时，，∴f（x）在上没有单调性，f（x）≥2即：，即，∴，解得，k∈Z．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的周期的计算公式，正弦函数的图象，正弦函数的对数中心和对称轴，考查了计算能力，属于基础题．5．（2023•安阳模拟）已知函数在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】利用两角和与差的正弦，余弦公式将函数化简，然后根据变量的取值范围和余弦函数的性质即可求解．【解答】解：＝，当x∈[0，π]时，，∵f（x）在[0，π]内有且仅有2个零点，∴，∴，∴ω的取值范围是．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．6．（2023•梅河口市校级一模）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，为了得到f（x）的图象，只需将g（x）＝cos3x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，的图象，可得，∴ω＝3，再根据五点法作图，可得，∴，，故把图象向右平移个单位长度，可得到的图象．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换，属于基础题．7．（2023•成都模拟）下列函数中，以π为周期且在上单调递增的是（）A．f（x）＝cos2x﹣sin2x B．f（x）＝2sinxcosx C．f（x）＝|sinx| D．f（x）＝|cos2x|【分析】由f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x判断A；由f（x）＝2sinxcosx＝sin2x判断B；作出函数f（x）＝|sinx|的图象判断C；作出f（x）＝|cos2x|的图象判断D．【解答】解：对于A，∵f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴T＝＝π，由x∈（），得2x∈（π，2π），∴f（x）单调递增，故A正确；对于B，f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，则T＝＝π，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∴f（x）不单调，故B错误；对于C，f（x）＝|sinx|，其图象如图：由图象知T＝π，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∵y＝|sinx|不单调，故C错误；对于D，f（x）＝|cos2x|，其图象如下：由图象知，T＝，由x∈（，π），得2x∈（π，2π），∵y＝|cos2x|不单调，故D错误．故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（2023•浙江模拟）已知函数在上单调递增，且，则ω＝（）A． B． C． D．【分析】根据复合函数的单调性，解三角方程，建立不等式与方程，即可求解．【解答】解：∵x∈（0，），又ω＞0，∴∈（，），又在上单调递增，∴，∴ω∈（0，1]，又，∴sin（+）＝sin（πω+），∴或，k∈Z，∴ω＝4k或ω＝+，k∈Z，又ω∈（0，1]，∴ω＝，故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调性，解三角方程，属中档题．9．（2023•南关区校级二模）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图，BC∥x轴，当时，不等式f（x）≥m﹣sin2x恒成立，则m的取值范围是（）A． B． C． D．（﹣∞，1]【分析】利用函数f（x）的图象，求出对称轴方程，从而求出函数f（x）的周期，由此求得ω的值，再利用特殊点求出φ的值，得到函数f（x）的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，即可求出m的取值范围．【解答】解：因为BC∥x轴，所以f（x）图象的一条对称轴方程为x＝×（+）＝，所以＝﹣＝，则T＝π，所以ω＝＝2，又2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），因为当x∈[0，]时，不等式f（x）≥m﹣sin2x恒成立，所以m≤f（x）+sin2x＝sin（2x+）+sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），因为x∈[0，]，则2x+∈[，]，所以g（x）＝sin（2x+）的最小值为，所以m≤，即m的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的综合应用，涉及了三角函数图象的应用，三角函数对称性、周期性的运用，同时考查了不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．二．多选题（共2小题）（多选）10．（2023•菏泽一模）已知函数（n∈N*），下列命题正确的有（）A．f1（2x）在区间[0，π]上有3个零点 B．要得到f1（2x）的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C．f4（x）的周期为，最大值为1 D．f3（x）的值域为[﹣2，2]【分析】，根据x的范围得出f1（2x）的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得，即可判断C项；由已知可得，，换元根据导函数求解在[﹣1，1]上的值域，即可判断D项．【解答】解：对于A项，由已知可得，，因为0≤x≤π，所以，当或时，即或时，有f1（2x）＝0，所以f1（2x）在区间[0，π]上有2个零点，故A项错误；对于B项，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，故B项正确；对于C项，由已知可得，＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝＝，所以，f4（x）的周期，最大值为，故C项正确；对于D项，＝＝．令，则﹣1≤t≤1，所以，则，解g'（t）＝0，可得，解g'（t）＞0，可得，所以g（t）在上单调递增，解g'（t）＜0，可得或，所以g（t）在上单调递减，在上单调递减，且，，，，所以当时，g（t）有最小值﹣1；当时，g（t）有最大值1，所以f3（x）的值域为[﹣1，1]，故D项错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．（多选）11．（2023•2月份模拟）图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．记α＝∠AOB，β＝∠AOC，γ＝∠BOD，δ＝∠COD，则（）A．sinβ＝sinγcosδ B．cosβ＝cosγcosδ C． D．【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CM⊥OD，CK⊥OA，结合条件中MN⊥OB，KN⊥OB，从而在各直角三角形中得到α，β，γ，δ的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可．【解答】解：因为在矩形MNKC中，KN⊥MN，又KN⊥OB，MN∩OB＝N，MN，OB⊂面BOD，所以KN⊥面BOD，又OD⊂面BOD，所以KN⊥OD，因为在矩形MNKC中，CM∥KN，所以CM⊥OD，即CM⊥MO，因为MN⊥OB，KN⊥MN，KN∩OB＝N，KN，OB⊂面BOA，所以MN⊥面BOA，又在矩形MNKC中，MN∥CK，所以CK⊥面BOA，又OA⊂面BOA，所以CK⊥OA，同时，易知在矩形MNKC中，CM＝KN，CK＝MN，对于A，在Rt△CKO中，sinβ＝，在Rt△MNO中，sinγ＝，在Rt△CMO中，cosδ＝，所以sinγcosδ＝•＝＝＝sinβ，故A正确；对于B，在Rt△CKO中，cosβ＝，在Rt△MNO中，cosγ＝，在Rt△CMO中，cosδ＝，又cosδ＝，且在Rt△KNO中，OK为斜边，故有ON≠OK，所以cosγ•cosδ＝•＝≠＝cosβ，故B错误；对于C，在Rt△KNO中，sinα＝，在Rt△CMO中，sinδ＝，又cosβ＝≠0，所以＝•＝＝＝sinα，故C正确；对于D，在Rt△KNO中，cosα＝，又cosβ＝≠0，cosγ＝，cosδ＝，所以cosα•cosβ＝•＝，cosγ•cosδ＝•＝，所以cosα•cosβ＝cosγ•cosδ，即cosα＝，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了线面垂直的判断及性质定理，关键点是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得CM⊥OD，CK⊥OA，从而得α，β，γ，δ的正余弦表示，从而得解，属于难题．三．填空题（共3小题）12．（2023•焦作一模）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）为奇函数，若对任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，满足f（α）+f（β）＝0，则实数α的取值范围是[﹣，]．【分析】由题意，先求出f（x）的解析式，再求出α+β＝0，结合β范围，求出α的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜）为奇函数，∴φ＝0，f（x）＝sin3x，且定义域关于原点对称．若对任意α∈[﹣，]，存在β∈[﹣，α]，满足f（α）+f（β）＝0，∴3α＝﹣3β，即α＝﹣β．∵β∈[﹣，α]，∴α＝﹣β∈[﹣α，]，∴﹣α≥﹣，即α≤．综上可得，实数α的取值范围[﹣，]，故答案为：[﹣，]．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，不等式的性质，属于中档题．13．（2023•碑林区校级模拟）将函数和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，An⋯，若P点坐标为（0，2），则＝5．【分析】根据题意作出两函数的图象，结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，求模长即可．【解答】解：由题意作出两函数的图象，如图所示，则两函数图象共有5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，A1和A5，A2和A4，关于A3对称，所以，+＝+＝2+，∴++++＝5＝5＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的运算和模长计算问题，是中档题．14．（2023•双台子区校级一模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是（6，10）．【分析】由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得ω的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，∴f（）＝1，∴+φ＝2kπ+，k∈Z，∴φ＝2kπ+﹣，k∈Z．结合φ的范围，可得k＝0或k＝1．①当k＝0时，φ＝﹣，由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（0，2）．∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，+φ），∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，即＜≤，即20＜ω≤28．综合可得，ω∈∅．②当k＝1时，φ＝2π+﹣＝﹣，由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（6，10）．∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，ωπ+φ），∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，即4＜ω≤12．综合可得，此时，ω∈（6，10）．综上，结合①②可得，ω∈（6，10），故答案为：（6，10）．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．四．解答题（共9小题）15．（2023•和平区校级一模）已知函数f（x）＝x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；（Ⅱ）若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，求θ的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．（Ⅱ）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），则x2+4[sin（θ+）]x﹣2＝x2﹣4[sin（θ+）]x﹣2，则sin（θ+）＝0，∵θ∈[0，2π]，∴θ+＝kπ，即θ＝﹣+kπ，∴tanθ＝tan（﹣+kπ）＝﹣．（Ⅱ）∵f（x）＝x2+4[sin（θ+）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．∴对称轴为x＝﹣2sin（θ+），若f（x）在[﹣，1]上是单调函数，则﹣2sin（θ+）≥1或﹣2sin（θ+）≤，即sin（θ+）≥或sin（θ+）≤，即2kπ+≤θ+≤2kπ+，或2kπ+≤θ+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ+≤θ≤2kπ+，或2kπ≤θ≤2kπ+，k∈Z，∵θ∈[0，2π]，∴≤θ≤，或0≤θ≤．【点评】本题主要考查函数奇偶性应用以及三角函数的恒等变换，利用条件转化为函数问题是解决本题的关键．16．（2023•浑南区一模）已知cos（α﹣）＝﹣，sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．求：（1）cos；（2）tan（α+β）．【分析】（1）利用cos＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]，求出相关的三角函数值即可求解；（2）求出相关角的范围，利用tan（α+β）＝，求解即可．【解答】解：（1）cos（α﹣）＝﹣，且α∈（，π），β∈（0，）．α﹣∈（），∴sin（α﹣）＝＝．sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）．﹣β∈（）．cos（﹣β）＝＝．cos＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]＝＝﹣．（2）α∈（，π），β∈（0，）．α+β∈（），∈（），∵cos＝﹣．∴∈（），sin＝＝，tan＝．tan（α+β）＝＝＝＝．【点评】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．17．（2023•东莞市校级模拟）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）时，g（x）＝af（x）+b的最大值为7，最小值为1，求a，b的值．【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴方程；（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝，则f（x）的最小正周期为T＝，令，k∈Z，解得x＝，故f（x）的对称轴方程为x＝；（2）g（x）＝af（x）+b＝，∵，∴，∴，∴，当a＞0时，g（x）＝af（x）+b的最大值为，最小值为﹣a+b，g（x）＝af（x）+b的最大值为7，最小值为1，则，解得，当a＜0时，g（x）＝af（x）+b的最大值为﹣a+b，最小值为，g（x）＝af（x）+b的最大值为7，最小值为1，则，解得，综上所述，a＝4，b＝5或a＝﹣4，b＝3．【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于中档题．18．（2023•黑龙江一模）已知函数，其中ω＞0，且函数f（x）的两个相邻零点间的距离为，（1）求ω的值及函数f（x）的对称轴方程；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1），，因为函数f（x）的两个相邻零点间的距离为，所以函数f（x）的最小正周期为，因为ω＞0，所以，即，令，解得x＝（k∈Z），故对称轴为x＝（k∈Z）；（2）由，因为A∈（0，π），所以，因为，所以由正弦定理可知：＝，解得b＝2sinB，c＝2sinC，所以三角形的周长为＝＝＝，因为，所以，因此，所以△ABC周长的取值范围为．【点评】本题主要考查三角函数中恒等变换的应用，考查转化能力，属于中档题．19．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；（2）若对任意，都有，求实数t的取值范围．【分析】（1）由图象可得f（x）的最小正周期，利用正弦函数的周期公式可求ω的值，由图知f（）＝﹣2，结合，可求，可得函数解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解；（2）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求得，可求范围，利用正弦函数的性质可得，进而即可解得实数t的取值范围．【解答】解：（1）由图象可得f（x）的最小正周期，∴，∵由图知f（）＝2sin（2×+φ）＝﹣2，∴，k∈Z，解得，k∈Z，又∵，∴，∴，∵令，k∈Z，解得，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为．（2）∵＝＝＝＝＝，又对任意，都有，可得，∴可得，∵，∴，∴，解得，∴实数t的取值范围为．【点评】本题考查了正弦函数的周期公式，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换的应用，考查了函数思想，属于中档题．20．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图像关于原点中心对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若三角形ABC满足是边BC上的两点，且，求三角形ABC面积的取值范围．【分析】（1）根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到，结合图象关于原点中心对称即可求出函数解析式；（2）结合（1）可得BC＝6，结合题意，建立平面直角坐标系得到点A的轨迹方程为（x﹣9）2+y2＝72，再根据几何关系即可求解．【解答】解：（1）由已知化简得，∴，由g（0）＝0得，∴ω＝3k﹣1，k∈Z，又