专题22圆锥曲线中的定点定值定直线问题微点4圆锥曲线中的定点定值定直线综合训练（学生版）

专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点4圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练专题22圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题微点4圆锥曲线中的定点、定值、定直线综合训练（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测）1．已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．（2022·山东青岛·二模）2．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.（i）证明：；（ii）证明：直线AB过定点.（2022·全国·模拟预测）3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．(1)求的方程；(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．（2022·河南安阳·模拟预测）4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．（2022·重庆南开中学模拟预测）5．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①为定值；②．（2022·上海闵行·二模）6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.(1)求证：；(2)求证：为定值，并求出该定值；(3)求的最大值.（2022·上海黄浦·二模）7．已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．(1)若点的纵坐标为，求的值；(2)设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；(3)证明：存在常数、，使得．（2022·广东·华南师大附中三模）8．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．(1)求点P的轨迹E的方程；(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，①求证：是定值．②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测）9．已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．(1)求交点P的轨迹C的方程；(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．（2022·江苏南通·模拟预测）10．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．11．设双曲线1，其虚轴长为2，且离心率为.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得，证明：点M落在某一定直线上；(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.（2022·云南师大附中高三月考）12．已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.(1)求双曲线C的方程；(2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）（2023·全国·高三月考）13．已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.14．设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．（2022江苏·星海实验中学高二月考）15．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？16．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.17．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.（1）求的值；（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.18．已知圆，抛物线，倾斜角为的直线过的焦点且与相切.（1）求的值；（2）点在的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设四边形为平行四边形，求证：点在直线上.19．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.20．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3.（1）求椭圆的标准方程；（2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.21．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.（1）求，的值；