专题13计数原理与概率统计

大数据之十年高考真题（20142023）与优质模拟题（北京卷）专题13计数原理与概率统计1．【2023年北京卷05】2x-1x5A．-80 B．-40 C．40 D【答案】D2x-令5-2所以2x-1x故选：D2．【2022年北京卷08】若(2x-1)4=A．40 B．41 C．-40 D．【答案】B【解析】令x=1，则a令x=-1，则a故a4故选：B.3．【2020年北京卷03】在(x-2)5的展开式中，A．-5 B．5 C．-10 D【答案】C【解析】x-25令5-r2=2可得：r=1，则故选：C.4．【2016年北京文科06】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．15 B．25 C．825 【答案】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=C5甲被选中包含的基本事件的个数m=C1∴甲被选中的概率p=m故选：B．5．【2015年北京文科04】某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300【答案】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600＝9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．6．【2021年北京11】(x3-【答案】-(x3-1x)4的展开式的通项7．【2016年北京理科10】在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）【答案】解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式Tr+1=∁6r（﹣2x）r＝（﹣2）r∁令r＝2，则x2的系数=(-2故答案为：60．8．【2015年北京理科09】在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）【答案】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=C5r25﹣r所求x3的系数为：C53故答案为：40．9．【2015年北京文科14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y＝x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．10．【2014年北京理科13】把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．【答案】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A44种方法，而A、B可交换位置，所以有2A又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2A33故满足条件的摆法有48﹣12＝36种．故答案为：36．11．【2023年北京卷18】为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天++0++0+0++00+第21天到第40天0++0++0+0++0+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：16（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.12．【2022年北京卷18】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)7(3)丙【解析】(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3P(P=0.4P=0.4P(∴X的分布列为X0123P3872∴E(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.13．【2021年北京18】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）E（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=则X的分布列:X2030P110所以E(（2）由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为P1=20则E(14．【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为3（Ⅱ）1336,（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为200200该校女生支持方案一的概率为300300（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：(1（Ⅲ）p15．【2019年北京文科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×40100（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p=m（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为125虽然概率较小，但发生的可能性为125故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．16．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p=40100（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0）=18P（X＝1）=18P（X＝2）=12∴X的分布列为：X012P6136数学期望E（X）=0×6（Ⅲ）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p=C虽然概率较小，但发生的可能性为14060故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．17．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【答案】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部，第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25＝50部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P（A）=502000（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：200×0.25＝50部，第五类获得好评的有：800×0.2＝160部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）=50×(800-160)+(200-50)×160200×800（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=0则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：ξ110P0.40.6E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．第二类电影：ξ210P0.20.8E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第三类电影：ξ310P0.150.85E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．第四类电影：ξ410P0.250.75E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．第五类电影：ξ510P0.20.8E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．第六类电影：ξ610P0.10.9E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．18．【2018年北京文科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部，获得好评的第四类电影200×0.25＝50，故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率502000（Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1＝372，估计这部电影没有获得好评的概率为1-3722000（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．19．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【答案】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p=15（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）=1P（ξ＝1）=CP（ξ＝2）=1∴ξ的分布列如下：ξ012P121答：E（ξ）=0×1（3）答：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．20．【2017年北京文科17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．21．【2016年北京理科16】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）【答案】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K=20100=15，故C（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=2+3+3+3+4（Ⅲ）μ0＞μ1．22．【2016年北京文科17】某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．【答案】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w＝3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10＝10.5，∴当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．23．【2015年北京理科16】A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）＝P（Bi）=17，i＝1，2（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）＝P（A5）+P（A6）+P（A7）=3（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）＝P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）＝10P（A4B1）＝10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．24．【2015年北京文科17】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【答案】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为2001000=（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200＝300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为3001000=（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=同时购买甲和丁的概率为1001000=故同时购买甲和丙的概率最大．25．【2014年北京理科16】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小（只需写出结论）．【答案】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=5（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率P1=35，客场命中率超过故P（B）＝P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=3（3）x=110（EX=26．【2014年北京文科18】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）【答案】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12＝90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为90100=（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a＝0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b＝0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02＝7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．1．【北京市延庆区2023届高三一模】已知f(x)=1A．16 B．80 C．81 D．243【答案】C【详解】f(x)故选：C2．【北京市东城区2023届高三二模】某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（

）A．13种 B．14种 C．15种 D．16种【答案】C【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有C4从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有C4从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有C4从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有C4所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有4+故选：C.3．【北京师范大学附属实验中学2023届高三三模】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（

）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升【答案】D【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为605=故选：D4．【中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三上学期12月测试】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）．A．26种 B．31种 C．36种 D．37种【答案】D【详解】根据题意，设A={只会划左桨的人}，B={只会划右桨的人}，C=据此分3种情况讨论：①从A中选3人划左桨，划右桨的在(B∪C)②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在(B∪C)③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，B中3人划右桨，有C31则有10+24故选：D．5．【北京市第二中学2023届高三校模】市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%,20%,50%，且三家工厂的次品率分别为3%,3%,1%，则市场上该品牌产品的次品率为（

）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.05【答案】B【详解】设A1,A由题意有PAP由全概率公式，得P(=0.3故选：B.6．【北京市海淀区2023届高三二模】芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．产品良率=切割得到的无坏点的芯片数切割得到的所有芯片数×100%．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第A．50% B．62．5% C．75% D【答案】C【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第5代芯片，其中12块无坏点，4块有坏点，故第5代芯片的产品良率为1216故选：C7．【北京市西城区2023届高三二模】某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m'，则下列各数中与m'A．70% B．65%C．60% D．55%【答案】C【详解】由题意可知m'=≈故选：C8．【北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模】现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，B表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下B事件发生的概率即PBA=A．14 B．13 C．25【答案】A【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则P(B表示事件“抽到两名女同学”，则P(故P(故选：A9．【北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试】在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在50,60内的人数为16，则下列结论正确的是（

）A．样本容量nB．图中xC．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等【答案】C【详解】由频率分布直方图可得：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的频率依次为0.16,10x对于A：∵成绩落在50,60内的人数为16，则16n解得n=100，故对B：由频率可得0.16+10x+0.4对C：由选项B可得：成绩落在60,70的频率为10x估计全体学生该学科成绩的平均分0.16×55+对D：设该学科成绩为A等的最低分数为m，∵70,80，80,90，90,100的频率依次为0.4,0.1,0.04，即0.1+可知m∈70,80，则80-虽然79.75>78，但79.75是估计值，有可能出现没有学生考到这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；故选：C.10．【北京市第一零九中学2023届高三高考冲刺】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．32种 D．40种【答案】B【详解】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A2甲站在两端的情况有A2∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24故选：B．11．【北京市丰台区2023届高三二模】某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为μ0，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为μ1，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为μ2【答案】(1)140(2)7(3)μ【详解】（1）根据表格中数据，完善表格，可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为7100用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为2000×（2）男女比例为20:80=1:4，故抽取的5名教师，有1名男教师，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为820女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为4080抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为251名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为1-故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为140（3）μ0=7μ2因为17855>2.8212．【北京市2023届高三高考模拟预测考试】2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：实践

理论基础中等优异基础021中等3b1优异23a(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为12．求a，b(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；(3)若基础、中等和优异对应得分为1分、2分和3分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出b的值．（直接写出答案）【答案】(1)a=3，(2)2125(3)8【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有2+则7+a20=又3+2+2+b+3+1+1+3=20，得b=（2）由（Ⅰ）知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人，实践成绩也为优异的概率为35所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为P=（3）由题意，a=设理论成绩为X，，则X取值为1,2,3，对应的人数分别为5,bEX所以参赛学生理论成绩的方差为D=-因为0≤b≤813．【北京市第四中学2023届高三数学保温测试】某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x1,s12，考核成绩的平均数和方差分别为x2,s2【答案】(1)0.5；(2)X的分布列见解析，数学期望为1；(3)x1=x【详解】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,

所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是510=从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.所以X可取0,1,2，则PX=0=C所以X的分布列为X012P121所以EX（3）由题可得x1x2ss2所以x1=x14．【2023届北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高考三模】2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.(1)求各班参加竞赛的人数；(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望；(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为13，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析，2.8(3)217【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为110故1-4班分别抽取30×110=3（人），（2）由题意，X的可能取值为1,2,3,4，P(P(P(P(所以X的分布列为：X1234P1311E(X)=1×1设1班获奖人数为Y，则Y~所以至少1人获奖的概率为1-15．【北京市西城区2023届高三二模】体重指数（BodyMassIndex，简称BMI）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知BMI=WH2，其中W表示体重（单位：kg），H表示身高（单位：m）．对成人，若BMI≥(1)该企业员工总数为1500人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；(2)从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取3人，设其中体重在80kg以上的人数为X，估计X的分布列和数学期望EX(3)从样本中身高大于或等于a(a∈{155,160,165,170,175,180})【答案】(1)300(2)分布列见解析，1(3)a=165【详解】（1）由散点图可知，抽取30人中有6人身体处于肥胖状态，故该企业身体处于肥胖状态的员工得概率为630则估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为1500×（2）因为抽取30人中有6人身体处于肥胖状态，其中2人体重在80kg以上，则从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取1人，其中体重在80kg以上的概率为26由题设X~B3,13PX=0PX=1所以X的分布列为：X0123P8421EX（3）有散点图可知，从样本中身高大于或等于a(a当a=155时，其身体处于肥胖状态的人数有6人，总人数有概率为630当a=160时，其身体处于肥胖状态的人数有4人，总人数有概率为428当a=165时，其身体处于肥胖状态的人数有2人，总人数有概率为224当a=170时，其身体处于肥胖状态的人数有1人，总人数有概率为118当a=175时，其身体处于肥胖状态的人数有1人，总人数有概率为18当a=180时，其身体处于肥胖状态的人数有1人，总人数有概率为14综上所述，当a=165或17016．【北京市密云区2023届高三考前保温练习（三模）】为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在50~350kW⋅h之间，进行适当分组后（每组为

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于300kW⋅(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在50~150kW⋅h之间的用户数为X，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于wkW⋅h的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.【答案】(1)1(2)分布列答案见解析，E(3)325【详解】（1）由频率分布直方图可知，100户居民中，第5组的居民户数为100×第6组的居民户数为100×从第5组、第6组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于300kW⋅h的概率为（2）该地区月均用电量在50~150kW⋅h之间的用户所占的频率为由题意可知，X~所以，PX=0PX=2所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P0.3430.4410.1890.027EX（3）前5个矩形的面积之和为1-设月均用电量的样本数据的第98百分位数为b，则b∈则0.96+b-故w应定为325较为合适.17．【北京航空航天大学实验学校中学部2023届高三三模】某汽车专卖店试销A，B，C三种品牌的新能源汽车，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周A品牌数量（台）111015AB品牌数量（台）14913BC品牌数量（台）61112C(1)从前三周随机选一周，若A品牌销售量比C品牌销售量多，求A品牌销售量比B品牌销售量多的概率；(2)为跟踪调查新能源汽车的使用情况，根据销售记录，从该专卖店第二周和第三周售出的新能源汽车中分别随机抽取一台．求抽取的两台汽车中A品牌的台数X的分布列和数学期望；(3)直接写出一组A4【答案】(1)12(2)分布列见解析，数学期望为1724(3)A4=16,【详解】（1）记事件M为“A品牌销售量比B品牌多”，则P(记事件N为“A品牌销售量比C品牌多”，则P(所以若A品牌销售量比B品牌多，A品牌销售量比C品牌多的概率为P(（2）依题意，在第二周抽取A品牌的概率为1030=13，第三周抽取X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=所以X的分布列为：X012P5111数学期望E(（3）由方差s2s12=s22=s32=观察数据：第一组15，11，10，A4；第二组：14，13，9，B4；第三组：12，11，6，将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除，即A4此时x1=13,x3=9,所以A4=18．【北京市丰台区第二中学2023届高三三模】某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度=企业所有对新绩效方案满意的员工人数(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率(2)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式一回答问卷的人数，求X的数学期望；(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4:5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.【答案】(1)4(2)4(3)40%【详解】（1）每次摸到白球的概率23，摸到黑球的概率为1每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率P=（2）由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数X~所以X的数学期望EX（3）记事件A为“按方式一回答问卷”，事件B为“按方式二回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．由（1）知PA=49，∵PC由全概率公式PC=PAP故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．19．【北京市第一零九中学2023届高三高考冲刺】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分，比较DX和DY的大小（直接写出结果）.【答案】(1)0.6(2)分布列见解析，X的期望为13(3)DX【详解】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.