专题六椭圆-2021-2022学年高二数学单元AB卷（人教A版2019选择性）

20212022学年高二数学专题测试卷（人教A版2019）专题六椭圆一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为．∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为．故选：B．2．在双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】椭圆方程可化为，，所以双曲线的，且焦点在轴上.由于，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B3．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆方程为，所以，由椭圆的定义得：，所以，所以的周长是8故选：D4．设为椭圆C:的两个焦点，点P在椭圆C上，若成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】设，因为成等差数列，所以即，所以椭圆C的离心率.故选：B.5．椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【解析】由椭圆方程，得由椭圆定义得又，为的中点，为的中点，线段为中位线，有.故选：B6．双曲线离心率为2，且其焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（）．A． B．3 C．1 D．4【答案】B【解析】由题意，椭圆的焦点为，双曲线的焦点为∴双曲线的焦点在轴上，，半焦距，所以，又离心率为2，即，，.故选：B.7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点、，则的中点为，则，可得.若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，且，直线的斜率为，由于、两点都在椭圆上，则，两式作差得，所以，，因为，所以，，所以，，解得，因此，椭圆的标准方程为.故选：A.8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】点在椭圆的外部，所以，即，所以，由恒成立，即，所以．又，所以故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（）A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．C． D．【答案】AB【解析】依题意，，即，所以，所以，因此B正确；又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；设，其中，则有，即有，则，因此C错误；，即有，则，因此D错误．故选：AB．10．关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（）A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线【答案】ABC【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，则，这样的不存在，D选项错误.故选：ABC.11．椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】解：记椭圆的两个焦点分别为，

有，

则知，

当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，

∴点的坐标为或，

故选：BD.12．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（）A．当点不在轴上时，的周长是6B．当点不在轴上时，面积的最大值为C．存在点，使D．的取值范围是【答案】ABD【解析】由椭圆方程可知，，从而．对于选项A:根据椭圆定义，，又，所以的周长是，故选项A正确；对于选项B：设点，因为，则．因为，则面积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．此时，，又，则为正三角形，，所以不存在点，使，故选项C错误；由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；对于选项D：当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．故选：ABD三、本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则点F1，F2的坐标分别是______．【答案】(－3,0)，(3,0)【解析】由椭圆的标准方程，可得a2＝25，b2＝16，所以c2＝a2－b2＝25－16＝9，即c＝3．则点F1，F2的坐标分别是(－3,0)，(3,0)．故答案为：(－3,0)，(3,0)14．已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.【答案】【解析】如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.因为，，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以.故答案为：.15．点P为椭圆上的任意一点，AB为圆的任意一条直径，若的最大值为15，则a=___________.【答案】3【解析】椭圆的焦点为，,半焦距，圆的圆心，半径为1，AB为圆M的直径，可得，则，又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得，当P为椭圆的左顶点时，上式取得等号，则，所以即.故答案为：3.16．设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.【答案】【解析】如图，绘出椭圆和双曲线图像：设，，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，因为，所以，即，由离心率的公式可得，因为，所以，即，解得，因为，所以，，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；（2）a＝4，c＝；（3）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由和两点在椭圆上可得，即，解得．故所求椭圆的标准方程为．（2）因为a＝4，所以b2＝a2－c2＝1，所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是．（3）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5．设所求椭圆的标准方程为．因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有①又a2－b2＝c2＝5，②由①②解得a2＝15，b2＝10．故所求椭圆的标准方程为．18．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点；（2）经过两点.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）若椭圆的焦点在轴上，设方程为，因为椭圆过点，代入可得，解得，又由，解得，所以椭圆的方程为；若椭圆的焦点在轴上，设方程为，因为椭圆过点，代入可得，解得，又由，解得，所以椭圆的方程为,综上可得，椭圆的方程为或.（2）设经过两点的椭圆方程为，将坐标代入方程得，解得，所以所求椭圆方程为.19．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由，可得，由面积的最大值为知，，解得，，，∴椭圆C的方程为（2）联立，解得联立得.∵直线与椭圆C交两点，∴.∴，且设直线的斜率分别为，设，则.又，，则∴，从而始终为等腰三角形.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为x＝4，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过T（t，0）（t＞a）作斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的左侧），且F1M∥F2N.设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，，，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为：；（2）设，，因为直线l过T（t，0），设直线l的方程为：y＝k（x﹣t），联立直线l与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，，，因为F1（﹣1，0），F2（1，0），所以，，且，所以，即，整理得：，所以，又，即，整理得：4k2（t2﹣4）＝9，因为直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且A（﹣2，0），B（2，0），所以k1•k2＝，.所以k1•k2的值为..21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）是定值，6.【解析】（1）解：由题意得，解得.把点的坐标代入椭圆C的方程，得由于，解得所以所求的椭圆的标准方程为.（2）解：因为，则得，即，又因为，所以直线的方程为.由解得(舍去)或，即得所以即线段的长为（3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.令，得，由得，解得(舍去)或所以，即于是直线的方程为，即令，得，即，所以四边形的面积等于即四边形的面积为定值.22．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物