第一次月考测试卷（一）（三角函数平面向量）

第一次月考测试卷（一）范围：三角函数、平面向量说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷(选择题共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市衡钢中学校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】由题可得，即求.【详解】由题把图形看作平面直角坐标系的一部分则，∴.故选：D.2．（2022秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式化简，再由齐次式即可求解.【详解】.故选：C3．（2023春·湖南·高一统考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可.【详解】设函数的图象平移个单位得到函数的图象，则，所以，解得，所以向右平移个单位长度.故选：C.4．（2023春·湖南张家界·高一统考期末）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】根据结合数量积的运算律即可得解.【详解】解：因为与均为单位向量，且与的夹角为，所以.故选：D.5．（2022秋·湖南长沙·高一校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由周期求得，由点的坐标求得（要注意的范围）．【详解】由题意，，，，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查由函数图象求函数解析式，掌握五点法是解题关键．6．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）在中，D，E分别为，上的点，且，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的三角形法则和共线定理，可得，即可求出值，进而求出结果.【详解】由题意，作出草图，如下图所示：由平面向量的三角形法则和共线定理，可知，所以，，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运算、共线定理和平面向量基本定理的应用，属于基础题.7．（2022·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知,则λ是“与的夹角为钝角”的条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】根据向量的夹角为钝角，则，再排除共线时的取值，从而进行等价转化；再结合题意进行选择即可.【详解】∵，∴与的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1<0且﹣2+λ≠0，即λ且λ≠2.∴λ是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由向量夹角的范围求参数的范围，属综合基础题.8．（2023春·湖南·高一校联考期末）已知的内角所对的边分别为，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两角和的正切公式可得，即可得到，然后由面积公式可得结果.【详解】因为，即，在中，所以，即，所以，所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（2022秋·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是【答案】AD【分析】根据题意可设，进而有，利用正弦定理、平面向量的数量积和余弦定理、三角形面积公式化简计算依次判断选项即可.【详解】依题意，设，所以，A：由正弦定理得：，故选项A正确；B：，所以，故选项B错误；C：若，则，所以，所以，所以，故的面积是：，故选项C错误；D：若，则，所以，所以，所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，故选项D正确.

故选：AD10．（2022秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．在区间单调递减C．的周期是 D．的最大值为2【答案】AB【分析】根据偶函数的定义即可判断A,根据复合函数的单调性即可判断B,根据周期的定义即可判断C，根据三角函数的性质即可判断D.【详解】的定义域为,，故是偶函数，故A正确，当时，，且在分别单调递增和单调递减，由复合函数的单调性可知均在单调递减，因此在区间单调递减，故B正确，由于，故不是的周期，故C错误，由于，所以，而，故，故D错误，故选：AB11．（2022春·湖南郴州·高一嘉禾县第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则可能是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】ABCD【分析】利用正弦定理得到由此可得或，即可判断.【详解】∵，由正弦定理，得，即．∵，，∴或，∴或，即为等腰三角形或直角三角形.故选：ABCD．12．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）若函数的最小值为，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】应用二倍角余弦公式可得，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论与区间的位置关系，求的值.【详解】由题设，，令，则，其开口向上且对称轴为，当时，，则；当时，，则(舍)或（舍）；当时，，则；综上，或.故选：AC第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知，，分别为内角，，的对边，，，，则______.【答案】或【解析】由正弦定理即可求得，根据三角形内角和性质以及即可求.【详解】由正弦定理：，有，∴，而，当时，或；当时，由，显然无解；∴或.【点睛】本题考查正弦定理，结合应用了三角形内角和性质，属于基础题.14．（2022秋·湖南娄底·高一双峰县第一中学校考阶段练习）已知向量，，若，则________.【答案】【解析】先根据求解出的值，然后求解出的坐标表示，由此求解出.【详解】因为，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】结论点睛：已知向量，（1）若，则有；（2）若，则有.15．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足__________．【答案】.【分析】方法1：运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果.方法2：先计算、，再运用A，B，C三点共线则列方程可得结果.【详解】方法1：因为A，B，C三点共线，所以设，即：，所以，消去m得：.方法2：，，因为A，B，C三点共线，所以，故，所以．故答案为：.16．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.【答案】600【分析】确定，，，在中，利用正弦定理计算得到答案.【详解】，则，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，则.故答案为：四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期末）的内角所对的边分别是，向量与垂直.(1)求；(2)若，求边.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，再结合边角互化，即可解出；（2）结合（1）的结论可得，再根据三角形内角和定理和正弦定理即可求出．（1）∵，∴，∴，而，解得，又，解得.（2）∵，∴，，由正弦定理可得，解得．18．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）已知向量，，．(1)求的最小值及相应t的值；(2)若与共线，求与的夹角．【答案】(1)最小值为，此时(2)【分析】（1）求出向量的坐标，再由向量的模长公式求出，根据二次函数求最值，即可得出答案.（2）由与共线可求出，再由向量的夹角公式即可得出答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，当且仅当取“＝”，即的最小值为，此时．（2）因为，，所以由与共线得，解得，此时，设，的夹角为θ，则，又,故与的夹角为．19．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）从①，②，③三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：已知三个内角，，的对边分别为，，，已知_________.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求a的取值范围.【答案】选①②③（1）；（2）【分析】（1）选①：利用余弦定理以及已知条件可求得的值，再结合角范围即可求解；选②：利用正弦定理化边为角可得的值，再结合角范围即可求解；选③：利用诱导公式和同角三角函数基本关系可求得的值，再结合角范围即可求解；（2）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解.【详解】（1）选①：∵，∴.∴.∴.又∵，∴.选②：∵，由正弦定理得.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.选③：∵，∴.∴.∴.又∵，∴.（2）由正弦定理，∴.∴

.∵为锐角三角形，，可得，解得：，∴，∴∴，∴.∴的范围是.20．（2022秋·湖南益阳·高一统考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，向量，，且．(1)求角的大小(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.（1）解：由可得，所以，，由正弦定理可得，、，则，，所以，，故.（2）解：因为，可设，则，由余弦定理可得，解得，故，，因此，的面积为.21．（2023春·湖南常德·高一校考阶段练习）已知：.（1）求函数的最小正周期和单调区间；（2）若，求函数的最值及相应的x的值.【答案】（1）；单调递增区间：；单调递减区间：；（2）最大值是，此时；最小值是，此时.【分析】（Ⅰ）由向量数量积的运算以及三角恒等变换求得函数的解析式，再由正弦函数的性质求得答案；（Ⅱ）由已知得.由正弦函数的最值可求得答案.【详解】解：（Ⅰ）.所以函数的最小正周期，由，解得，由，解得，∴函数的最小正周期，单调递增区间：；单调递减区间：.（Ⅱ）若，则.∴，，即的最大值是，此时；的最小值是，此时.22．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知