专题33函数的奇偶性与周期性2022年高考数学一轮复习（新教材新高考）（讲）原卷版

专题3.3函数的奇偶性与周期性新课程考试要求1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.核心素养培养学生数学抽象（例）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想象（例9.10）等核心数学素养.考向预测1.判断函数的奇偶性与周期性；2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查，有时与数列结合考查周期数列相关问题．【知识清单】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【考点分类剖析】考点一：函数奇偶性的判断【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【典例2】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（）A． B．C． D．【知识拓展】(1)奇、偶函数定义域的特点．由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【变式探究】1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B．C． D．2.（2021·上海高三二模）设，则“图象经过点”是“是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件考点二：函数奇偶性的应用【典例3】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（）A． B．C． D．【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数为奇函数，当时，，且，则（）A． B． C． D．【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数，满足，则___________.【总结提升】函数奇偶性的应用(1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．【变式探究】1.（2019·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数为奇函数，则实数的值为（）A． B． C． D．2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(∞，0)内单调递增，f(2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（）A．(1，1) B．(0，2)C．(2，0) D．(2，4)3.（2021·上海高三二模）已知函数为奇函数，若，则___________．考点三：函数周期性及其应用【典例6】（2021·广德市实验中学高三月考（文））已知对，，当时，，则（）A． B． C． D．【典例7】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例8】（2020·四川省石室中学高三一模（文））已知是定义域为的奇函数，满足,若，则()A． B． C． D．【规律方法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式探究】1.（2020·六盘山高级中学高三三模（文））奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12.（2019·广东高考模拟（文））已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=（）A．0 B．-a C．a D．3a3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．2019 B．0 C．1 D．1考点四：函数性质的综合应用【典例8】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为､公差为的等差数列，则的值为（）A． B． C． D．【典例9】（2020·山西省高三其他（文））已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【典例10】【多选题】（2020·山东省高三其他）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（）．A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数C．函数为奇函数 D．函数为偶函数【典例11】（2020·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（）A．2 B．1 C．0 D．1【典例12】（2021·湖南高三三模）函数的定义域为D，对D内的任意，当时，恒有，则称为非减函数．已知是定义域为的非减函数，且满足：①对任意，．②对任意．则的值为________．【规律方法】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．【变式探究】1.（2020·山西省高三其他（文））已知函数，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2.（2019·梅州市梅县区松口中学高三