12空间向量基本定理

1.2空间向量基本定理基础达标练1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=A.12a+12bB.12a+12bC.12a12bD.12a12b答案A解析B1=c+12(a+b)=12a+12b2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,且有6OP=OA+2OB+3OC,则(A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面答案B解析由6OP=OA+2OB+3OC,得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP),即AP=2PB+3PC,∴AP,PB,PC共面.又三个向量的基线有同一公共点3.(多选)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OCA.1 B.0 C.3 D.1答案ABC解析∵OM=xOA+且M,A,B,C四点共面,∴x+13+13=1,4.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=5a+6b,CD=7a2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D答案A解析因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB,故AD∥AB,又AD与AB有公共点5.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+②|a||b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若AB,CD共线,则AB∥④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中错误命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a||b||,故②错误;若AB,CD共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④6.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=e12e2,且A,B,D三点共线,实数k=.

答案1解析∵AD=AB+BC+CD=7e1+且AB与AD共线,故AD=x即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7x)e1+(k+6xk)e2=0,又∵e1,e2不共线,∴7-x=0,k+6-7.在以下三个命题中,真命题的序号为.

①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;③若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.答案①②解析c与a,b共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABCO'A'B'C',且OA=a,OC=b,OO'=c(1)用a,b,c表示向量AC'(2)设G,H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示GH.解析(1)AC'=AC+(2)GH=GO=12(OB+=12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c)=12(c9.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+bc,q=2a3b5c,r=7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解析假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则a+bc=(2λ7μ)a+(3λ+18μ)b+(5λ+22μ)c.∵a,b,c不共面,∴2λ-即存在实数λ=53,μ=13,使p=λq+μr,∴p,q,r10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断CE与MN解析∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,∴MN=又∵MN=MC+∴12CA+∴CE=CA+2AF+FB=2(MA+∴CE∥MN,即CE能力提升练1.已知非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e13e2,则A,B,C,D四点()A.一定共线B.恰是空间四边形的四个顶点C.一定共面D.一定不共面答案C解析因为非零向量e1,e2不共线,AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e13e2,所以5AB-AD=5e1+5e23e1+3e2=2e1+8e2=AC,所以AC=5AB-AD.由向量共面的充要条件可知,A,B,C2.在平行六面体ABCDEFGH中,若AG=xAB2yBC+3zDH,则x+y+z等于()A.76 B.23 C.34答案D解析由于AG=AB+AD+CG=AB+BC+DH,对照已知式子可得x=1,2y=1,3z=1,故3.(多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA14A1A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内答案ABD解析PM=PB1+7BA+=PB1+BA+=PB1+B1=PA1+6(PA1=11PA16PB4且1164=1,于是M,B,A1,D1四点共面.4.设棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中的八个顶点所构成的集合为S.向量的集合P={m|m=P1P2,P1,P2∈S},则P中长度为3a的向量有个;P中长度等于a的向量有答案824解析每一条体对角线对应两个向量,正方体共有4条体对角线,所以P中长度为3a的向量有8个.正方体有12条棱且长度均为a,则P中长度等于a的向量有24个.5.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.

答案1解析OA=2xBO+3yCO+4zDO=2xOB3yOC4zOD.由四点共面的充要条件知2x3y4z=1,即2x+3y+4z=1.6.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=12OD+xOB+yOA,求x解析因为AE=OB=OA=OA+=OA+=OA+=32所以x=12,y=37.已知非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e13e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明证法一:令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e13e2)=0,则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ3v)e2=0.∵e1,e2不共线,∴λ易知λ=-则5AB+AC+∴A,B,C,D四点共面.证法二:观察易得AC+AD=(2e1+8e2)+(3e13e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5∴AB=由共面向量知,AB,AC又它们有公共点A,∴A,B,C,D四点共面.8.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1.证明B=B1∵O是B1D1的中点,∴B1O+D1O∴B1C,OC1,OD共面,且B∴B1C∥平面ODC1.素养培优练1.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=证明∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴AE=∴EH=又∵FG=CG-CF∴EH=∴EH∥FG,|EH|=3又∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.2.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=k求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)AB∥平面EFGH.证明