四川省德阳市第二中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

德阳二中教育集团2024年秋期中初二素质监测数学（满分：150分；时间：120分钟）一、单选题（3×12＝36分）1．如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（）A．阿基米德螺旋线 B．太极图C．赵爽弦图 D．笛卡尔心形线2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．17 B．13 C．17或13 D．123．关于多边形有以下描述：（）①六边形内角和为720°；②十二边形每个外角度数均为30°；③n边形从一个顶点最多可引出条对角线；④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形．⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，原来这个多边形的边数是6．根据描述判断，其中描述正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，∠1＝∠2，AC＝AD，有下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D．增加其中一个，能使△ABC≌△AED的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，AB长为半径的弧分别交AC，BC于点D，连接BD，ED，若∠CED＝105°，求∠ABC的度数为（）（5题）A．80° B．70° C．60° D．50°6．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△BPC的面积为，则△ABC的面积为（）.（6题）A．1.5a B．2a C．2.5a D．3a7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（）（7题）A．100° B．108° C．112° D．120°8．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（）个.A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在△ABC中，∠BAC是锐角，以BC为斜边在△ABC内部作一个等腰直角三角形△BCD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若F为AC的中点，AB＝5，DF＝1，则BE＝（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．410．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（）A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大11．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到，再分别倍长边，，得到…按此规律，倍长2024次后得到的的面积为（）A． B． C． D．12．△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB＝90°，AC＝BC．D是AC上任意一点（点D与点A，C都不重合），连接BD，CF⊥BD，交BD于点E，交AB于点F，连接DF，AG⊥AC交CF的延长线于点G．当点C和点F关于直线BD对称时，下面结论：①△AFD是等腰直角三角形：②△ACG≌△CBD；③∠ADF＝∠CDE；④．其中正确结论有（）个A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（4×6＝24分）13．已知点与点关于x轴对称，则的值为______.14．已知a、b、c为三角形三边长，则______.15．等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为40°，则三角形的底角为______.16．在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F在线段BC上，点E是在线段AF上，满足∠CEF＝45°，AE＝6，EF＝5，则△ABF的面积为______.17．现有一块如图所示的草地，经测量，∠B＝∠C，AB＝10米，BC＝8米，CD＝12米，点E是AB边的中点。小狗汪汪从点B出发以2米/秒的速度沿BC向点C运动，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D运动．当妞妞的速度为______米/秒时，能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝42°，将△ABC绕点B按逆时针旋转θ度（0＜θ＜90）到△A'BC'，边A'C'和边AC相交于点P，边BC'和边AC相交与点Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ＝______．三、解答题19．（10分）如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB＝10，AC＝8，求BE长．20．（12分）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，BD＝BA，延长AB到点E，使得BE＝BC，恰有∠CBE＝∠ABD，连接DE，交BC于点F．（1）求证：△ABC≌△DBE；（2）当BC⊥DE时，①求证：；②求∠AEC的度数．21．（13分）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC＝______°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．直接写出BF，CF，AM之间的数量关系．22．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点、，AD⊥BC交BC于D点，交y轴正半轴于点．（1）如图1，求C点的坐标；（2）如图2，连接OD，求∠ODC的度数；（3）如图3，已知点，，若PQ⊥PC，PQ＝PC，直接写出Q的坐标（用含a的式子表示）．23．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG．求证：（1）AF＝CG；（2）CF＝2DE．24．（15分）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC．（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；（2）若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，若CD＝2BE．求∠BCD的度数；（3）如图2，若点D是线段BC上一点，且，过点A作AM⊥AD，AD＝AM，连接BM交AC于点N，求值为多少．25．（15分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE＋FD，探究图中∠BAD，∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______.（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE＋FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE＋FD，请写出∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由．

答案1．D【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称的定义“在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行判定即可求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；故选：D．2．A【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性以及三角形三边关系，由题意得x＝3，y＝7；分类讨论若等腰三角形的三边长为：3，3，7，若等腰三角形的三边长为：3，7，7，利用三角形三边关系加以验证即可：【详解】解：∵，，，∴，；若等腰三角形的三边长为：3，3，7，∵3＋3＜7，不能构成三角形，∴此种情况不存在；若等腰三角形的三边长为：3，7，7，则等腰三角形的周长为：3＋7＋7＝17，故选：A3．B选：B．4．C【分析】本题考查三角形全等的判定方法，三角形全等的判定方法有：1．三组对应边分别相等（SSS）；2．有一个角和夹这个角的两条夹边对应相等的两个三角形全等（SAS）；3．有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；4．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；还有一种判定方法直角三角形独有：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠BAC＝∠EAD，添加①满足△ABC≌△AED（SAS），符合题意；添加②满足SSA．不符合题意；添加③满足△ABC≌△AED（ASA），符合题意；故能使△ABC≌△AED的条件有①③．故选：C．5．D【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角等于不相邻的内角和等知识，设∠ABC＝∠ACB＝x，可以推出∠A＝180°－2x＝30°＋x，解方程即可解决问题．【详解】解：设∠ABC＝∠ACB＝x，∵BA＝BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝180°－∠CED＝75°，∴∠DBE＝180°－2×75°＝30°，∴∠BAD＝∠BDA＝30°＋x，∴180°－2x＝30°＋x，∴x＝50，故选：D6．B【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出AB＝KB，由等腰三角形的性质得到PA＝PK．延长AP交BC于K，由角平分线的定义得到∠ABP＝∠KBP，由垂直的定义得到∠APB＝∠KPB＝90°，由三角形内角和定理推出∠BAP＝∠BKP，得到AB＝KB，由等腰三角形的性质推出AP＝KP，由三角形面积公式推出△ABP的面积＝△KBP的面积，△CPK的面积＝△CPA的面积，即可得到△ABP的面积＋△CPA的面积＝△BCP的面积＝a（），于是得到△ABC的面积＝2×a＝2a（）．【详解】解：延长AP交BC于K，∵PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠KBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠KPB＝90°，∴∠BAP＝∠BKP，∴AB＝KB，∵BP⊥AK，∴AP＝KP，∴△ABP的面积＝△KBP的面积，△CPK的面积＝△CPA的面积，∴△ABP的面积＋△CPA的面积＝△KBP的面积＋△CPK的面积＝△BCP的面积＝a（），∴△ABC的面积＝2×a＝2a（）．故答案为：B7．C【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后证明△BAO≌△CAO可得OB＝OC，根再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝56°，AO为∠BAC的平分线，∴，又∵AB＝AC，∴，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝62°－28°＝34°，∵∠BAO＝∠CAO，AB＝AC，OA＝OA∴△BAO≌△CAO，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝34°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝34°，在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－34°－34＝112°，故选：C．8．C【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．【详解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴，，∴，∴，故①正确，符合题意；∵CD平分∠ACF，∴，∵，，∴，∴，故②正确，符合题意；如图，∵，，，∴，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴，，∴，∴，∴，故③错误，不符合题意；∵，∴，∵，∴，故④正确，符合题意；综上正确的有：①②④．故选：C9．C【分析】延长EF，过C作CG⊥EF，垂足为G，证明△AEF≌△CGF（AAS），得到CG＝AE，EF＝FG，再证明△BDE≌△DCG（AAS），BE＝DG，DE＝CG，设BE＝x，根据边的关系代换得到AE＝x－2，再根据AB＝5列出方程，解之可得BE．【详解】解：延长EF，过C作CG⊥EF，垂足为G，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝∠BED＝90°，∵F为AC中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CGF中，，∴△AEF≌△CGF（AAS），∴CG＝AE，EF＝FG，∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝90°，∴∠BDE＋∠CDG＝90°，∴∠BDE＋∠DBE＝90°，∴∠CDG＝∠DBE，在△BDE和△DCG中，，∴△BDE≌△DCG（AAS），∴BE＝DG，DE＝CG，设BE＝x，则DG＝x＝DF＋FG＝1＋EF＝1＋DE＋DF＝2＋DE＝2＋CG＝2＋AE，∴AE＝x－2，∴AB＝AE＋BE＝x－2＋x＝5，∴，故答案为：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边．10．D【分析】先根据等边对等角得到∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，再由等边三角形的性质得到∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，利用三角形外角的性质证明∠EDB＝∠DFA，∠CDF＝∠BED，进而证明△BDE≌△CFD得到BD＝CF，BE＝CD，再根据三角形周长公式推出△BED周长＝BC＋AD，点D在从B至C的运动过程中，则AD的长先变小后变大，则△BED周长先变小后变大．【详解】解：∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA＋∠DFA＝60°，∵∠ABC＝∠DEA＋∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DFA，∵∠ACB＝∠CFD＋∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，又∵∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周长＝BD＋BE＋DE＝BD＋CD＋AD＝BC＋AD，∴点D在从B至C的运动过程中，∴AD的长先变小后变大，∴△BED周长先变小后变大，故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，通过证明△BDE≌△CFD，得到BD＝CF，BE＝CD是解题的关键．11．A【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、图形的规律等知识点，根据题中条件找出规律公式是解题关键．先作出辅助线，然后利用等底等高可知7个小三角形的面积相等，推出，依次往下类推可得出的面积＝，据此即可解答．【详解】解：如图，连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，则、、、、、、的面积都相等，∴，同理可得：，以此类推，的面积＝，∵，∴的面积．故选：A．12．B【分析】由题意可得BD垂直平分CF，通过证明△BDF≌△BDC，得到∠AFD＝90°，即可判定①；通过AAS可以得到△ACG≌△CBD，即可判定②；由①可得∠ADF＝45°，而，即可判定③；在线段EB上取一点H，使得EH＝EC，通过证明△CDH为等腰三角形，即可判定④；【详解】解：由题意可得BD垂直平分CF，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴．CD＝DF，BF＝BC，∠DEC＝90°又∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC（SSS），∴∠DFB＝∠DCB＝90°，∴∠AFD＝90°，又∵∠CAB＝45°，∴△AFD是等腰直角三角形，①正确；∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝∠DEC＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝∠ACG＋∠AGC＝90°，∴∠CDE＝∠AGC，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBD（AAS），②正确；由①可得∠ADF＝45°，，③错误；在线段EB上取一点H，使得EH＝EC，连接CH，如下图：则△CHE为等腰直角三角形，由①可得，由②可得，∴∠DCH＝∠ACG＋∠ECH＝67.5°＝∠CDH，∠HCB＝90°－∠DCH＝22.5°＝∠CBD∴CH＝DH＝BH，即，∵DH＝DE＋EH＝DE＋CE，∴，④正确；故答案为：B13．－1【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称、解一元一次方程，熟练掌握点的坐标关于x轴对称的特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键．由题意得到关于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可．【详解】解：∵点与点关于x轴对称，∴m－1＝2m－4，n＋2＝－2，解得：m＝3，n＝－4，∴．故答案为：－1．14．b＋c－a【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形三边关系定理可得b＋c－a＞0，b－c－a＜0，a－b＋c＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值进行计算即可．【详解】解：∵a、b、c为三角形三边长，∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0，a－b＋c＞0，∴，故答案为：b＋c－a．15．25°或者65°16．33【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角等知识点，如图:过C作CG⊥CE，垂足为C，交AF延长线于点G，连接BG，先证△AEC≌△BCG（SAS）可得BG＝AE＝6、∠CAE＝∠CBG，再根据三角形外角的性质结合已知条件可得∠AGB＝∠ACB＝90°，然后运用三角形的面积公式即可解答：正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．【详解】解：如图：过C作CG⊥CE，垂足为C，交AF延长线于点G，连接BG，∵∠CEF＝45°，∴∠CGE＝90°－∠CEF＝45°，∴∠CGE＝∠CEF，∴EC＝CG，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECF＝90°，∵∠FCG＋∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCG，在△AEC和△BCG中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCG，CE＝CG，∴△AEC≌△BCG（SAS），∴BG＝AE＝6，∠CAE＝∠CBG，∵∠AFB＝∠CAF＋∠ACB，∠AFB＝∠CBG＋∠AGB，∴∠AGB＝∠ACB＝90°∵AE＝6，EF＝5，∴AF＝AE＋EF＝11，∴△ABF的面积为：．故答案为33．17．2或【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据题意，分两种情况进行谈论即可，①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等．【详解】解：设汪汪运动的时间为t秒，则BP＝2t，CP＝8－2t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8－2t，解得，∴BP＝CQ＝3，此时，妞妞的运动速度为（米/秒）；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CPQ全等，此时，2t＝8－2t，解得t＝2，∴妞妞的运动速度为（米/秒）；故答案为：2或．18．4°或32°．【分析】由题意过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转的性质和全等三角形的性质得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝42°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，∴∠A'EB＝∠ADB，由旋转可得，A'B＝AB，∠A'＝∠A，在△A'BE和△ABD中△A'BE≌△ABD（AAS），∴BD＝BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C＝∠C'＝42°，∠BQC＝∠PQC'，∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，∴，分三种情况：①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C＋∠QBC＝42°＋θ，∵∠BPQ＋∠PBQ＋∠PQB＝180°，∴，解得θ＝4°；②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，即，解得θ＝32°；③当QP＝QB时，，又∵∠BQP＝42°＋θ，∴（不合题意），故答案为：4°或32°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．19．BE＝1【分析】先根据角平分线性质定理得到DF＝DE，再利用中垂线性质得到CD＝BD．进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，通过线段之间的数量关系即可求解．【详解】解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE＋BE＝AF＋BE＝AC＋CF＋BE＝AC＋2BE，∴AB＝10，AC＝8，∴BE＝1．【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．20．（1）见解析（2）（ⅰ）见解析：（ⅱ）54°【分析】（1）先证∠DBE＝∠ABC，进而可依据SAS判定△ABC和△DBE全等:（2）（i）过点B作BH⊥AD于H，根据等腰三角形的性质得，再证△BHD和△BFD全等得DH＝DF，据此可得出结论；（ii）由（i）知：△BHD≌△BFD，则∠DBH＝∠DBF，设∠DBH＝∠DBF＝α，根据等腰三角形的性质得∠ABD＝2α，再由已知得∠CBE＝2α，根据平角的意义得∠ABD＋∠DBF＋∠CBE＝180°，据此可求出α＝36°，进而得∠CBE＝2α＝72°，然后在△BCE中由三角形的内角和定理可求出∠AEC的度数．【详解】（1）∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，即：∠DBE＝∠ABC．在△ABC和△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS）．（2）（i）证明：过点B作BH⊥AD于H，又∵BC⊥DE，∴∠BHD＝∠BFD＝90°，由（1）知：△ABC≌△DBE（SAS），∴∠BAC＝∠BDE，∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BDH＝∠BAC，，∴∠BDH＝∠BDF，在△BHD和△BFD中，∴△BHD≌△BFD（AAS），∴DH＝DF，∴，（ii）解：由（i）知：△BHD≌△BFD（AAS），∴∠DBH＝∠DBF，设∠DBH＝∠DBF＝α，∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠ABD＝2∠DBH＝2α，∴∠CBE＝∠ABD＝2α，∵∠ABD＋∠DBF＋∠CBE＝180°，∴2α＋α＋2α＝180°，∴α＝36°，∴∠CBE＝2α＝72°，在△BCE中，BC＝BE，∴，即：∠AEC＝54°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）．21．（1）BE＝CF，30°（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由见解析（3）BF＝CF＋2AM，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质．（1）设AC交BD于点G，由∠BAC＝∠EAF＝30°，得∠BAE＝∠CAF＝30°＋∠CAE，而AB＝AC，AE＝AF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，所以BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，则∠BDC＝∠AGD－∠ACF＝∠AGD－∠ABE＝∠BAC＝30°，于是得到问题的答案；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论．【详解】（1）如图1，设AC交BD于点G，∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°＋∠CAE，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，BE＝CF，∴∠BDC＝∠AGD－∠ACF＝∠AGD－∠ABE＝∠BAC＝30°，故答案为：30．（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD＝∠AEB＋30°－（∠AFC－30°）＝60°．（3）BF＝CF＋2AM，理由如下：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB－∠CAE＝∠FAE－∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE＋EF，∴BF＝CF＋2AM22．（1）C（1,0） （2）见详解 （3）Q（－2，2－a）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形．（1）根据△AOE≌△BOC得OE＝OC即可求出点C坐标．（2）如图，先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到，底边AE＝BC，得出OM＝ON，根据角平分线的逆定理进而得到OD平分∠ADC，可得∠ADO＝∠ABO＝45°；（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△PCG≌△QPH，可得CG＝PH＝2，PG＝QH＝a，又知Q在第二象限，从而得Q（－2，2－a）．【详解】（1）解：如图1，∵AD⊥BC，∴∠EAO＋∠BCO＝90°，∵∠CBO＋∠BCO＝90°，∴∠EAO＝∠CBO，∵A（－3,0）、B（0，3），∴AO＝BO在△AOE和△BOC中，，∴△AOE≌△BOC（ASA），∴OE＝OC＝1，∴点C（1，0），（2）解：如图2，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴，且AE＝BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM＝ON，∴OD平分∠ADC；即OD是∠ADC的角平分线；（3）解：如图3，过P作GH∥x轴，过C作CG⊥GH于G，过Q作QH⊥GH于H，交x轴于F，∵P（0，2），C（a，0），∴CG＝FH＝2，PG＝OC＝a，∵∠QPC＝90°，∴∠CPG＋∠QPH＝90°，∵∠QPH＋∠HQP＝90°，∴∠CPG＝∠HQP，∵∠QHP＝∠G＝90°，PQ＝PC，∴△PCG≌△QPH（AAS），∴CG＝PH＝2，PG＝QH＝a，∴Q（－2，2－a）．23．（1）见解析 （2）见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）根据ASA证明△AFC≌△CBG，进而可证AF＝CG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，先证明GH是AB的垂直平分线，再由互余关系可证∠D＝∠DAG，即可证明DG＝AG＝GB＝CF，再证明△ADE≌△CGE，即可DG＝2DE，进而可证CF＝BG．【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF＝∠CBF＝45°，∴∠CAF＝∠BCG，∵AC＝BC，∠ACF＝∠CBG，∴△AFC≌△CGB（ASA），∴AF＝CG；（2）证明：延长CG交AB于H，连接AG，∵CG平分∠ACB，AC＝BC，∴CH⊥AB，AH＝BH，∴AG＝BG，∴∠ABG＝∠GAB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∠BAD＝90°，∴∠D＝∠EGC，∠GBA＋∠D＝∠BAG＋∠DAG＝90°，∴∠D＝∠DAG，∴DG＝AG＝GB，∵△AFC≌△CGB，∴CF＝BG，∴DG＝CF，∵E为AC边的中点，∴AE＝CE，∵∠AED＝∠CEG，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE＝GE，∴DG＝2DE，∴CF＝2DE．24．（1）见解析 （2）22.5° （3）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由三角形内角和定理证明∠ACB＝90°即可；（2）由A