数学与应用数学专业 毕业设计（论文）

学号：2008310861指导教师林立军副教授年级2008级2011年11月25日矩阵初等变换及其应用高等代数有很大帮助。本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方的应用。方便读者日后学习中使用初等变换解题。很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办起止时间：2011年11月25日至2012年4月251、2011年11月25日定题2、2011年11月26-12月1日拟定大纲3、2011年12月2日-12月31日资料查询，写好开题报告。4、2012年1月1日-2月1日理论分析。5、2012年2月2日到4月1日形成初稿，并修改论6、2012年4月2日到4月25日定稿及准备答辩。外出调研主要单位，访问学者姓名：无指导教师审查意见：指导教师(签字) 教研室(研究室)主任(签字)院(系)审查意见： 院(系)主任(签字)哈尔滨师范大学2012年5月数学归纳法及其应用一、数学归纳法的基础意大利数学家皮亚诺(Peano,Giuseppe,1858-1932)于1②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a',a'也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2,2的后继数是3等等);二、数学归纳法的原理N*={1,2,3,…}.数a∈S,对于任意c∈S都有a≤c.定理1(数学归纳法原理)设有一个与正整数n有关的命题.立.由(ii)有n=h时命题也成立，因此h∈S,导致矛盾.三、数学归纳法的类型解：8=5+3,9=3×3,10=2×5,11=2×3+5.故问题的实质是要证明对于N≥8②N=3k+1(k≥3),这时要证明3k+1=3m+5n.m=k-3,n=2就可以.③N=3k-1,这时要证3k-1=3m+5n.因为-1=-6+5,所以3k-1=3k-6+5=3m+5n,取m=k-2,n=1.6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3,16=1VEFVE4647867八面体6886通过进一步的实验，我们又可发现这一关系式对任何一个(凸)多面体来说都是成立的.但是到了16世纪中叶，欧拉发现：第五个费马数并不是质数，而是641与6700417的乘积.(2)因果关系归纳法(科学归纳法)因果关系归纳法是指以某类事物的部分对象的因果关系作为前提，而得出一般性结论a₃=2cosθsin20-sinθ=si这个结果就是用因果关系归纳法得出来的.由于因果关系归纳体现了所研究的这类事物性大.四、使用数学归纳法的步骤下面我们通过例题来阐述利用数学归纳法解题的步骤并总结一些经例4.证明等式,n∈N*成立.证明：①当n=1时，左边等于1,右边等于1,左边等于右边，等式成立.②假设当n=k时等式成立，即成立.则当n=k+1时综上所述，等式对任意n∈N成立的与正数有关的命题都能用数学归纳法证明，也不能保证对其他的数都正确，这就需要第二步递推.假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时也成立，证明了这一步，就获得了递推的依据.奠定了基础.第二个“成立”是假设成立，是对递推逻辑关其中一个“也”字，说明了前后两个命题之间的逻辑关系和依存关系.“都成立”是在概括灵魂.数学归纳法的证明过程是指上是证明前后两个命题的逻辑关系和依存关系的正确性.也可以说数学归纳法实质上是归纳推理和演绎推理的巧妙结合.五、应用数学归纳法时应注意的问题第一，如何保证结论的正确性.所说的关于“稳定性(即能否由已研究过得特例“稳定掉任何一个特例.要的问题就在于如何证明结论的“稳定性”.但是，如果就证明的全部过程而言，我们又必掉任何一个特例.六、数学归纳法的应用1、数学归纳法证明整除性问题(ii)假设n=k≥1时命题成立，即那么,当时将(*)转换为带入(**),有所以即当n=k+1时命题也成立综上所述能被64整除②假设n=k≥1时命题成立，即因为所以即当n=k+1时，命题也成立例7.计算下面的行列式：a0000(i)当n=1时，有结论成立.(ii)假定当n=k时结论成立，即结论成立.故对任何正整数n,结论成立例8.证明：证明：①当n=1时，左边等于1,右边等于2,不等式成立；那么,当n=k+1时综上所述，当n∈N*时恒成立例9.已知n∈N*,求证：则当n=k+1时等式成立5.利用数学归纳法求数列中的问题求数列的通项公式.同理可得由此猜想下面用数学归纳法证明：①当n=1时猜想成立；故即n=k+1时，猜想成立例11.F数列是斐波那契(Fibonaci)在1202年提出的：假定一对大兔每月生一对一雌对小兔子(刚出生的),问一年后兔房里有多少对兔子?稍加分析后，便可得出兔子每月的对数的数列的根，此方程称为线性递归数列的特征方程，其根称为特征根.F数列的递推公式其中p=1,q=r=-1,它的特征方程为解之得：令于是令.公比则所以证明：这个命题对于n=1,2来说是没有意义的.我们从n=3开始用数学归纳法.平面.272个部分.在解决了上述问题以后，就可以进一步研究平面分割空间的问题.个部分.这也就是说，在增加了第n个分割平面以后，分割所得出的部分空间的数量增加了从而，依据“生成”的考虑，我们就可得出，n个处于一般位置的平面把空间分割成了个部分.7.利用数学归纳法证明集合中的问题例14.证明，含有n个元素的集合的一切子集的个数等于2”.证明：设A为含有n个元素的集合.8.利用数学归纳法证明二项式定理例15.证明二项式定理：是n个元素中取r个的组合数.于是命题成立，故命题对一切正整数n成立.行归纳证明，当n=m时，易见命题成立，若m≤n<N时，命题成立，现需证的充要条件是命题得证.10.利用数学归纳法求n个自然数的立方和问题I³+2³+3³+…+n³=1+(3+5)+(7+9+11)其中第n组中第一个奇数为假设当n=k时上述猜想成立，即假设成立.故可见，实践和归纳同样是数学家寻找真理和发现真理的主要手式、前n个自然数的立方和公式、二项展开式等，无一不是观察、实验和归纳的结果.欧拉发现的，证明只是一个补行的手续.[1]张禾瑞、郝镧新：《高等代数》,高等教育出版社，1999年5月第4版.[2]张雄、李得虎：《数学方法论与解题研究》,高等教育出版社，2003年8月第1版.[3]郑毓信：《数学方法论入门》,浙江教育出版社，2006年3月第1版.[4]吕孝亮：《关于数学归纳法的基础研究》,学术论坛，2008年12月号.Abstract:Thisarticlemainlyfromthemathematicalinduction,theprincipleofthemathematicalinductiontype,usemathematicalinductionstep,theapplicationofmathematicalinductionandseveralaspects,thispapethemathematicalinductioninsolvingproblems,thesequencepinequalityproofofdivisionandtheapplicationsofproof,thepurposeisthroughtheapplicationofmathematicalinductionproblemsolving,Keywords:mathematicalinduction;recursive;inequality;division该论文对矩阵初等变换进行了详细的解释，并对其题方法简单、有效、易行，理论依据阐述清晰。并通过例子将矩阵初等变换在求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形这七个方面的应用做出示范。该论文对矩阵初等变换的定义和它在高等代数中的应用做了充分的说明和分类，并结合了相关内容，用具体实例演示了用法。该论文文字条理清晰、书写工整，说明论述充理论证明全实，文字通顺，符合技术用语要求，符号统一，编号齐全。林立军该同学能在老师的严格要求下顺利完成整个毕业论献材料收集详实，综合运用了所学知识解决问题，所用方法合理，结论正确，有创新见解。另外文章篇幅完全符合学院规定，格式正确，书写规范，内容完整，层次结构安排科学，主要观点突出，逻辑关系清楚，条理清晰，语言流畅。文题完全相符，论点突出，论述紧扣主题。本科毕业论文(设计)答辩过程记录院系数学科学学院数学系专业数学与应用数学年级2006级答辩人姓名焦阳学号20毕业论文(设计)题目矩阵初等变换及其应用毕业论文(设计)答辩过程记录：2、全文的基本框架是怎么安排的?答辩是否通过：通过()未通过()记录员答辩小组组长签字 本科毕业