数学学案：集合的表示方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修1第一章1。1.2集合的表示方法1．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体问题．2．理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等．1．列举法如果一个集合是______，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来,写在________内表示这个集合．这种表示集合的方法叫做列举法．(1）用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间的前后顺序，如{a，b}与{b，a｝表示同一个集合．（2）元素与元素之间必须用“，”隔开．(3）集合中的元素不能重复．(4）如果构成集合的元素具有明显的规律,也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚，如N＋＝{1，2，3，4,5,6,…｝．【做一做1－1】用列举法表示不超过10的非负偶数集为__________．【做一做1－2】方程x2－2011x－2012＝0的解组成的集合为__________．2．描述法一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都____性质p(x),而不属于集合A的元素都______性质p(x)，则性质p（x)叫做集合A的一个________．于是，集合A可以用它的特征性质p（x)描述为________，它表示集合A是由集合I中具有性质p（x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法,简称______．(1）列举法描述法．（2）描述法的形式：描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言．例如,表示由直线y＝x上所有的点组成的集合，可用三种形式表示为:文字语言形式：直线y＝x上所有的点组成的集合；符号语言形式：{（x，y）|y＝x};图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线y＝x（略）．(3）使用描述法表示集合时要注意以下六点:①写清元素符号;②说明该集合中元素的性质;③不能出现未被说明的字母;④多层描述时，应当准确使用“且”“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确．【做一做2－1】已知集合A＝{0,1，2，3,4｝,用描述法表示该集合为__________．（答案不唯一，写一个即可）【做一做2－2】集合｛（x，y)｜y＝2x－1}表示（)A．方程y＝2x－1B．点(x，y）C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1的图象上的所有点组成的集合一、用描述法表示集合时，要明确集合的代表元素剖析：描述法是将所给集合中全部元素的共同特征性质用文字或符号语言描述出来的方法，它反映了集合元素的特征，在分析相关集合的问题时,一定要分清集合中代表元素的含义．例如,集合D＝｛y|y＝x2－2x＋3}＝{y|y＝(x－1）2＋2｝＝{y｜y≥2}，该集合的全部元素的共同特征性质是大于或等于2的实数，所以D＝｛y|y＝x2－2x＋3}与E＝｛x|x≥2｝为同一集合．又如，集合F＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\｝(\a\vs4\al\co1(y＝\f（1,x)＋1))）)，它的代表元素是x,该集合中x满足的条件是x≠0,所以该集合与G＝{y|y∈R且y≠0}为同一集合．再如，集合A＝｛x｜y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}与C＝{(x，y）|y＝x2＋1}不是相同的集合．这是因为集合A的代表元素是x，且x∈R；集合B的代表元素是y,且y≥1；集合C的代表元素是(x,y)，且(x，y)表示平面直角坐标系内抛物线y＝x2＋1上的点，所以它们是互不相同的集合．还有｛三角形}实际上是{x|x是三角形｝的简写，千万别理解成由三个汉字组成的集合，三角形的集合不要写成{所有三角形｝，因为｛}本身就有“所有”的含义．所以说，用描述法表示的集合，要抓住元素进行分析,看清集合的代表元素应具有哪些特征性质，从而准确理解和把握集合的内涵，分析集合是由哪些元素所组成的，避免错误的发生．二、教材中的“思考与讨论”1．哪些性质可作为集合｛－1,1｝的特征性质？剖析：集合{－1,1｝是只含有元素－1和1的集合．因此，能表示出元素－1，1的方程、式子等都可以作为它的特征性质．如,x2＝1或｜x｜＝1或（x＋1)(x－1)＝0等，本题也说明了表达同一个集合的特征性质并不是唯一的．2．平行四边形的哪些性质，可用来描述所有平行四边形构成的集合?剖析:在初中,我们学习了平行四边形的判定定理，即平行四边形所具有的特征性质：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．因此，平行四边形ABCD的特征性质可以写成：AB∥CD且AD∥BC，或ABCD等．题型一用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1）{自然数中五个最小的完全平方数}；(2）｛x｜(x－1）2(x－2)＝0}；(3）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(（x,y）\b\lc\|\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x－y＝1））)））).分析:（1)首先明确自然数中完全平方数均为n2（n∈N）的形式；（2）1是方程的二重根,要考虑到集合元素的互异性;(3）方程组的解集是点集．反思：第（2)小题中1是方程的二重根，把方程（x－1）2·（x－2)＝0的解集写成｛1,1，2｝是不对的,这是因为集合的元素是互异的．第（3)小题中集合的代表元素是(x，y)，故不能写成{3,2｝，也不能写成{x＝3，y＝2｝．实际上,集合｛（3，2)｝只有一个元素．题型二用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1）被3除余2的正整数的集合;（2)使eq\f(x－1,x2－3x＋2）有意义的实数x的集合；(3）平面直角坐标系内，不在二、四象限的点的集合;(4）平面直角坐标系内,两坐标轴上的点集．分析：（1）中x＝3k＋2(k∈N)可作为集合的一个特征性质；(2)中要使表达式有意义，则x2－3x＋2≠0;（3)（4）中注意集合中的元素是点．反思：认识用特征性质描述法表示的集合,一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么特征．对符号语言所表达含义的理解在数学中的要求是很高的，要逐步提高对符号语言的认识．题型三列举法和描述法的灵活运用【例3】选择适当的方法表示下列集合：(1）x2－1的一次因式组成的集合；(2)“welcometoBeijing”中的所有字母组成的集合;（3)平面直角坐标系内第一、三象限角平分线上的点的集合；(4)以A为圆心，r为半径的圆上的所有点组成的集合．分析：(1）由于x2－1的一次因式为x＋1和x－1，故可以用列举法表示为{x＋1,x－1}；（2）由于“welcometoBeijing"中包括的字母有w，e，l,c,o,m,t，B，i,j，n,g,共12个元素,故可以用列举法表示为｛w，e，l，c，o，m，t,B,i，j，n，g｝；（3)第一、三象限角平分线对应直线y＝x；（4)对于以A为圆心，r为半径的圆上的点都具有一个共同的特征:到圆心的距离都等于半径,设点P为圆上的任意一点，故可以用描述法表示为{P｜｜PA｜＝r｝．反思：用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素所满足的特征性质；三要根据元素个数来选择恰当的方法表示集合．题型四易错辨析【例4】已知集合A＝｛x｜x＝2a，a∈Z｝，B＝｛x|x＝2a＋1,a∈Z}，C＝｛x|x＝4a＋1，a∈Z}．若m∈A，n∈B,A．m＋n∈AB．m＋n∈BC．m＋n∈CD．m＋n不属于A，B，C中的任意一个错解：C反思:在分析集合中元素的关系时，一定要注意各自的独立性，并注意用不同的字母来区分，否则会引起错误．【例5】判断命题eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N|\f（6,1＋x）∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(6,1＋x)∈Z|x∈N））的真假,并说明理由．错解：此命题是真命题．理由如下：∵x与eq\f（6，1＋x)的范围一致，∴题中命题是真命题．反思：化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾,缺一不可．1下列集合的表示方法正确的是(）A．{1,2，2}B．{全体实数｝C．{有理数}D．不等式x2－5＞0的解集为{x2－5＞0｝2方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝1，，x－y＝9））的解集是(）A．（5,4)B．｛5，－4｝C．{(－5，4)｝D．｛（5，－4)}3下列关系式中，正确的是（）A．｛2,3｝≠{3,2｝B．｛(a，b）}＝{（b，a）}C．{x|y＝x2＋1}＝{y｜y＝x＋1｝D．{y｜y＝x2＋1｝＝{x|y＝x＋1｝4用列举法表示集合A＝{y｜y＝x2－1，－2≤x≤2，且x∈Z}是__________．5已知集合M＝{x｜（x－a)（x2－ax＋a－1)＝0｝中各元素之和等于3，则实数a的值为__________．6用描述法表示下列集合．(1）大于2的整数a的集合；（2)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2的交点的集合；（3）｛1，22,32，42,…｝；(4)eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(4,5)，0，\f（1,2）,\f(5,6），\f（2,3），\f（3,4))).答案：基础知识·梳理1．有限集花括号“｛}”【做一做1－1】｛0，2，4，6,8，10}【做一做1－2】{－1，2012}∵x2－2011x－2012＝（x＋1)·（x－2012）＝0，∴x＝－1或x＝2012.∴方程x2－2011x－2012＝0的解组成的集合为｛－1，2012}．2．具有不具有特征性质｛x∈I｜p(x)｝描述法【做一做2－1】｛x∈N|x≤4｝【做一做2－2】D典型例题·领悟【例1】解：（1）｛0,1,4，9,16｝；(2){1,2};（3）{（3,2)}．【例2】解：（1){x|x＝3k＋2，k∈N｝．（2）∵eq\f(x－1,x2－3x＋2）＝eq\f（x－1,（x－1）(x－2)）有意义,∴实数x的集合为{x|x≠1，且x≠2，x∈R}．(3）｛(x,y)｜xy≥0，x∈R,y∈R}．(4）｛（x，y)|xy＝0}．【例3】解:(1){x＋1,x－1｝；(2)｛w，e，l,c,o，m,t,B,i，j，n，g}；（3){(x，y）|y＝x，x∈R，y∈R}；（4)设点P为所求的圆上的任意一点，则｛P|｜PA|＝r}．【例4】错因分析：不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个集合中的a是一致的，从而由m∈A，得m＝2a，a∈Z。由n∈B,得n＝2a＋1,a∈Z。所以得到m＋n＝4a＋1，a∈Z。进而错误判断m＋n∈C.而实际上，三个集合中的a是不一致的．应由m∈A，设m＝2a1，a1∈Z.由n∈B,设n＝2a2＋1，a2∈Z.所以得到m＋n＝2(a1＋a2）＋1,且a1＋a2∈Z,所以m＋n∈B，故正确答案为B.正解：B【例5】错因分析:误认为两集合的代表元素一样，而导致错误，实际上eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x∈N｜\f(6，1＋x)∈Z))的代表元素是x，而eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（6，1＋x)∈Z｜x∈N））的代表元素是eq\f（6,1＋x),因而构成两集合的元素不同．正解：此命题是假命题．理由如下：∵x∈N，且eq\f(6，1＋x）∈Z，∴1＋x＝1，2，3，6。∴x＝0,1,2，5.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N|\f（6，1＋x）∈Z）)＝{0，1，2，5｝．而eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f（6,1＋x)∈Z|x∈N）)＝｛6,3,2，1｝，∴题中命题是假命题．随堂练习·巩固1．C2．Deq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（(x,y)|\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝1,x－y＝9)))）＝｛（5，－4)｝．一定要注意解集是点集．3．C选项A中，{2,3｝＝｛3，2｝，集合元素具有无序性；选项B中，集合中的点不同，故集合不同；选项C中，｛x｜y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1｝＝R；选项D中，{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1｝,而｛x|y＝x＋1｝＝R，所以两集合不是同一个集合．故选C.4．{－1,0,3}∵x＝－2，－1,0,1,2，∴对应的函数值y＝3,0，－1,0，3，∴集合A用列举法表示为{－1，0,3}．5．2或eq\f(3,2)根据集合中元素的互异性，当方程（x－a）·（x2－ax＋a－1）＝0有重根时，重根只能算作集合的一个元素，M＝{x|(x－a)(x－1)［x－（a－1)]＝0}．（1)当a＝1时，M＝｛1，0}，不符合题意；(2)当a－1＝1，即a＝2时,M＝｛1，2}，符合题意；(3)当a≠1，且a≠2时，a＋1＋a－1＝3，则a＝eq\f(3,