浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（）A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小2．（3分）下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，则（）A．AC：BD＝3：2 B．BD：BF＝2：5 C．CD：EF＝2：3 D．CE：AC＝2：54．（3分）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（）A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD5．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是抛物线y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．（3分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．8．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（3分）如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是．12．（3分）如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为．13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝°．14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x024y101020则4a﹣2b+c＝．15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是．16．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；③不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；④当x＞1时满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．（2）已知线段a＝4.5，线段b＝2，求线段a，b的比例中项线段c．18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0）（1）求二次函数的表达式．（2）将二次函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出顶点坐标．19．（8分）某大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，D，E两个完全相同的出口，小明周末要去大剧院观看话剧表演，随机选择一个入口，结束后任选一个出口离开．（1）请用树状图或列表的方法，表示小明进出大剧院的所有可能路线；（2）求小明从B入口进入大剧院的概率．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝，求AC的长．21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．（1）求证：CD⊥AB；（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元．（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），①b的值是，点B的坐标是；②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．24．（12分）如图，半圆O的直径AB＝6．点C在半圆O上，连结AC，BC，过点O作OD∥AC分别交BC，于点E，D，连结AD交BC于点F．（1）求证：点D是的中点；（2）当△BOE与△FDE相似时，求线段OE的长．（3）将点O绕点F顺时针旋转90°到点G．当点G在线段AC上，求线段OE的长．2024-2025学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（A）A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小2．（3分）下列条件中，能确定一个圆的是（C）A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，则（B）A．AC：BD＝3：2 B．BD：BF＝2：5 C．CD：EF＝2：3 D．CE：AC＝2：54．（3分）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（C）A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD5．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是抛物线y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三点，则a，b，c的大小关系为（A）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．（3分）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（A）A． B． C． D．7．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（B）A． B． C． D．8．（3分）在二次函数y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的图象一定不经过（B）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（3分）如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（C）A． B． C． D．10．（3分）如图，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，的值为（D）A． B． C． D．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是．12．（3分）如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为4π．13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝62°．14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x024y101020则4a﹣2b+c＝20．15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是0.5．16．（3分）已知关于x的函数y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常数），设k分别取0，1，2时，所对应的函数为y0，y1，y2，某学习小组通过画图，探索，得到以下结论：①函数y0，y1，y2都是二次函数；②满足y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜1；③不论k取何实数，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的图象都经过点（1，0）和点（﹣1，2）；④当x＞1时满足y2＞y1＞y0，则以上结论正确的是②③④．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．（2）已知线段a＝4.5，线段b＝2，求线段a，b的比例中项线段c．解：（1）由3：x＝2：5得，2x＝3×5，解得x＝，故x的值是．（2）因为线段c是线段a和线段b的比例中项，所以c2＝ab．又因为线段a＝4.5，线段b＝2，所以c2＝4.5×2＝9，所以c＝3（舍负），故线段a，b的比例中项线段c为3．18．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0）（1）求二次函数的表达式．（2）将二次函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出顶点坐标．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（1，0），∴，解得：，∴y＝x2+2x﹣3；（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．19．（8分）某大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，D，E两个完全相同的出口，小明周末要去大剧院观看话剧表演，随机选择一个入口，结束后任选一个出口离开．（1）请用树状图或列表的方法，表示小明进出大剧院的所有可能路线；（2）求小明从B入口进入大剧院的概率．解：（1）画树状图如下：所有等可能的结果有6种，即A﹣D、A﹣E、B﹣D、B﹣E、C﹣D、C﹣E；（2）∵大剧院有A，B，C三个完全相同的入口，∴小明从B入口进入大剧院的概率为．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝，求AC的长．解：（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠EAD．∵AD2＝AE•AB，∴＝，∴△ABD∽△ADE；（2）解：∵△ABD∽△ADE，∴∠ADB＝∠AED．∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．又∵∠DCE＝∠ACD，△DCE∽△ACD，∴＝，即＝，∴AC＝4．21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．（1）求证：CD⊥AB；（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．解：（1）证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF，∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE＝∠BCE，∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC，∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝2，AE＝4，∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，∴．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元．（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：（1）由题意可得，当销售价为每件30元时，每天的销售量为：250﹣（30﹣25）×10＝200（件），答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件；（2）设销售单价应定为x元，由题意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解得x1＝30，x2＝40，答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；（3）由题意可得，W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250，∴当x＝35时，W取得最大值，此时W＝2250，答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元．23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），①b的值是﹣2，点B的坐标是（﹣1，0）；②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），∴9+3b﹣3＝0．∴b＝﹣2．∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0．∴解得，x＝﹣1或x＝3．∴B（﹣1，0）．故答案为：﹣2；（﹣1，0）．②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，∴x＝4或x＝﹣2．又∵a＝1＞0，∴二次函数图象开口向上．∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，即x2+bx﹣3＞t恒成立．即x2+bx﹣3﹣t＞0．∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．∴t＜﹣．（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，∴对称轴x＝﹣＝．∴b＝﹣3．∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．∴当x＝1或x＝2