数学学案：互动课堂第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂重难突破本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用。一、柱坐标系1.定义:如图，建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标。这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组（ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P（ρ，θ,z），其中ρ≥0，0≤θ〈2π，-∞〈z<+∞.2.空间点P的直角坐标(x,y，z)与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为二、球坐标系1。定义:如图，建立空间直角坐标系O—xyz,设P是空间任意一点，连结OP，记|OP｜=r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组（r,φ，θ）表示.这样,空间的点与有序数组(r,φ，θ）之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系)，有序数组(r,φ,θ）叫做点P的球坐标，记作P（r,φ，θ），其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.2.空间点P的直角坐标(x,y，z）与球坐标（r,φ，θ）之间的变换关系为3。球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用.在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P（r,φ，θ）的方位角，90°-φ称为高低角.可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中，我们需要三个长度：（x,y，z），而在球坐标系与柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要(ρ，θ,z）或者(r,φ,θ）.三种坐标系互相不同,互相有联系，互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.至此，我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等知识,可以看到坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化。不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题。三、在实际问题中的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容。1。经线与经度:地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线,规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数,以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经。如东经30°、西经60°等.2.纬线与纬度：与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道。一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线，以赤道为基准,向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°、南纬23.5°等.活学巧用【例1】一个圆形体育馆，自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区,我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.7m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来.解:以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A与体育场中轴线Oz的距离为504m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影。A距地面的高度为2。8m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.∴点A的柱坐标为（504，，2.8）点评:找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量，即点的空间中的高度.【例2】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.解:在赤道平面上,选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立球坐标系,如图。由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°—75°=15°,由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米,可知r=2384+6371=8755千米。∴点P的球坐标为(8755km,15°，80°).【例3】已知长方体ABCD-A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1解析：如图,此题是考查空间直角坐标、球坐标、柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标,找到它们的相同和不同来.C1点的(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1,C1点的(ρ，θ,z)分别对应着AC、∠BAC、CC1，C1点的（r，φ,θ）分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BA