【数学】直线的倾斜角与斜率说课课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

学情分析教学反思教材分析教学设计直线的倾斜角与斜率

作为选择性必修主题二中的第二单元“平面解析几何”的前半部分，“直线和圆的方程”通过对学生相对比较熟悉的几何对象-直线和圆的研究，试图建立起一种用坐标法研究几何问题的范式，即研究如何用代数的方法描述几何对象，如何用代数运算研究几何对象之间的关系，以及如何用代数的手段研究几何对象的应用。通过在平面直角坐标系中对直线和圆这两种几何对象的深入研究，学生能够由简到繁，由特殊到一般，感悟平面解析几何中研究几何对象的基本方法与核心思想。

“运算”是本单元的重中之重，这里“运算”既包括了狭义的针对数与式的代数运算，这在解析几何中是语言，也是工具；“运算”也包括了更为广泛的含义，即通过设计合理的途径来尝试解决问题，在此过程中用程序思想理解和表达问题等，通过本单元这一部分的学习，学生能有效地发展数学运算素养，此外，也将发展直观想象、数学建模、逻辑推理等素养。一、教材分析——单元整体分析

为了更好的凸显本单元“从综合法到坐标法发展数学运算素养”的主题，我们对单元课时的设计做了如下调整:

一是增加一个单元前准备环节，对学生的学情进行了调查，帮助学生回忆在初中我们是如何研究点、线、圆这些几何图形的。以及在初中，平面直角坐标系在研究这些几何问题中所发挥的作用，甚至在点、直线、圆这些几何对象之间构建一张知识结构图。

二是在“小结”部分安排一节复习提升课，旨在梳理本章所学的解析几何的基本思想，逻辑结构和典型的运算方法，进而使学生进一步感悟解析几何方法的特点与优势，另外，也为用方程描述曲线的严谨性给出一些说明，为之后学习椭圆、双曲线和抛物线奠定基础。一、教材分析——单元整体分析本章知识结构框图确定直线位置的几何要素：点、方向直线的倾斜角与斜率过两点的直线斜率公式直线的点斜式方程判断直线平行或垂直直线的两点式方程直线的一般方程点到直线的距离公式平行直线间的距离直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与直线的位置关系两点间的距离公式确定圆的几何要素：圆心、半径圆的标准方程圆的一般方程

本节课选自人教版《普通高中教科书数学选择性必修第一册》。“直线与圆的方程”是解析几何的起始单元，而“直线的倾斜角与斜率”又是本单元的起始课。直线作为一种最基本、最简单的曲线，曾在初中阶段运用综合法对其进行了较充分的研究，并且在研究一次函数时，已经知道其函数图象是一条直线。在本单元中运用坐标法研究直线，起到了承上启下的作用，只有将直线的几何特征、代数特征，及两者之间的关系梳理清楚，才能为“运用代数方法研究几何问题”起到引导作用，从而更好地为本单元乃至整个“解析几何”的学习做好铺垫。一、教材分析——本节课的教学内容解析

本节课的教学内容是在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，主要包含直线的倾斜角和斜率两个概念，探究了如何运用代数方法刻画直线的斜率，并得到过两点的直线(不重直于x轴)斜率的计算公式。

本节课是运用代数方法研究几何问题的初探，就倾斜角和斜率等知识本身而言，相对比较容易理解和掌握。而其中蕴含的数学思想方法，如借助坐标系将几何问题转化成代数语言表达，将新知识与己有的知识体系构建联系，以及数形结合、特例分析、分类讨论等研究问题的策略，则对整个单元学习的推进起到了引导作用。一、教材分析——本节课的教学内容解析1.学生知识基础情况调查

在单元前准备环节的基础上，我们对不同层次的学生进行了课前调查，并对结果进行归纳整理后得到如下数据。（1）关注几何对象的概念（2）关注几何对象的位置关系（3）图文并茂（4）对知识进行结构化梳理（5）提及一次函数（6）提及向量（7）提及直线的方程二、学情分析2.基于调查分析得到的结论

从调查结果发现，学生在梳理平面几何知识的过程中，更加关注的是几何对象的位置关系，相对比较忽视对概念的理解，部分学生在知识梳理的过程中主动提到了一次函数的图象，在教学设计的过程中也需要关注，有一部分学生没有考虑到向量和直线的研究之间可能存在的联系，还有部分学生提及直线的方程，可能已经有过相关内容的自学。二、学情分析3.学生情况简析

学生在初中阶段学习了点、直线的概念，并且运用综合法研究了点和直线、直线和直线的位置关系，对直线的“几何特征”比较了解，同时学生在初中阶段也学习了“一次函数及其图象”，这部分内容与“直线方程”有所关联又有所不同。在高中阶段，学生还学习了平面向量的坐标表示，对运用代数方法研究向量也比较熟悉，由于“直线的综合法研究”和“一次函数及其图象”都是学生熟知的内容，所以本课时教学将基于学生的实际情况出发，在单元预备阶段进行学生知识基础调查分析的基础上，预设“坐标系中确定直线的基本要素”和“一次函数:y=kx+b(k≠0)中k的几何意义”两条线索，并将两条线索有机结合进行研究。二、学情分析单元教学目标课时教学目标(1)懂得平面直角坐标系是用代数方法描述和研究几何对象的重要工具:理解如何在平面直角坐标系中用各种形式的方程描述直线与圆；在具体的数学情境中，结合几何图形，理解直线与圆的方程中各参数的几何意义；会根据各种形式的方程在平面直角坐标系中作出直线和圆的草图，体会数形结合的思想。(2)对于三类几何对象:点、直线、圆，经历从综合几何到解析几何，用代数的方法探索、研究两两之间的关系的过程，初步感悟综合几何方法与解析几何方法在处理不同的几何问题时的异同以及各自的优势。(3)初步掌挥用解析儿何的方法解决数学问题与实际问题，能合理地建立坐标系。用数学眼光观察实际问题，将与直线和圆有关的实际问题转化为数学问题，并通过运算加以解决，提升数学运算素养。①在梳理已有平面几何知识的基础上，回顾平面直角坐标系中点与坐标一一对应，尝试在平面直角坐标系中探索确定直线的几何要素。②通过对实际情境的抽象，理解直线的倾斜角、斜率等概念，并研究这些概念之间的内在联系，提升逻辑推理素养。③通过对直线的倾斜角、斜率的研究，对比坐标法与综合法在研究直线问题上的区别与联系，初步体会运用代数方法研究几何问题的思想，提升数学运算素养。三、教学设计——本节课的教学目标

根据教学内容和课程标准的要求，本节课的教学重点设定为:①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线的几何要素:②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

根据学生的实际情况:

本节课的教学难点设定为:直线斜率的几何意义。三、教学设计——本节课的教学重点和难点本节课采取探究式教学法，通过问题串设计的方式，引导学生自发的生成倾斜角的概念，并通过学习活动的方式，自主探究直线的倾斜角与斜率之间的关系，体验发现与优化的过程，提升直观想象和逻辑推理素养。其中倾斜角的研究源自单元前准备活动这一数学情境以及滑雪场构造这一现实情境，而倾斜角与斜率的关系则是通过小组合作探究开展的，在小组讨论的基础上形成一致结论，并通过组间交流鼓励学生之间的互动，进一步加深对问题的思考。引导学生探究直线的斜率k与一次函数中一次项系数k是否是同一个量，旨在帮助学生体会数学知识的内在联系，并进一步体会解析几何中代数与几何的联系。三、教学设计——本节课的教学策略单元整体导向--从综合法到坐标法发展数学运算素养知识基础坐标法数学背景实际情景直线的倾斜角直线的斜率综合法研究直线一次函数的图象代数化联系回归抽象关系三、教学设计——本节课的教学环节教学环节设计意图单元整体导向说明

在单元的起始课向学生介绍整个单元的学习线索，说明引入坐标法的积极意义，为整个单元运用代数方法研究几何问题的导向埋下伏笔。构建直线的倾斜角概念

在数学情境和实际情境中抽象出“坡角”的初步想法，并在平面直角坐标系中，引导学生自发的生成并逐步优化形成“倾斜角”的概念，体会倾斜角定义的合理性。探究直线斜率的几何意义

从直线上的两点坐标与直线的倾斜角之间的关系出发，通过小组活动，运用代数运算来探究直线斜率，体会代数方法在研究几何问题的积极意义，提升数学运算和逻辑推理能力。探究直线斜率与一次函数的关系

通过活动探究，发现一次函数表达式中，一次项的系数就是函数图象所在直线的斜率，体会数学知识的内在联系。三、教学设计——本节课的教学环节活动目的:从实际情境中抽象出用来刻画直线倾斜情况的“角”，并且在确定平面直角坐标系后，引导学生自发生成“倾斜角”初步的概念，并进一步运用数学语言严谨的表达倾斜角的概念。三、教学设计——本节课的活动设计活动目的:通过具体案例研究提炼方法，进而指导一般情况的研究，在研究知识本体的同时，体会从特例入手，提炼方法，再从特殊到一般的问题研究策略，在小组合作的过程中，通过组员之间的互相学习和互相评价，形成积极的学习导向，在合作的基础上完成探究任务。三、教学设计——本节课的活动设计活动目的:将新知识与己有知识进行比较，发现数学知识的内在联系和结构，通过小组合作，在组内不同意见的探讨过程中，尝试用数学语言说服对方，用严谨的代数证明为自己的观点立论，体会运用代数运算研究几何问题的过程。三、教学设计——本节课的活动设计作业内容设计意图(1)梳理本节课学习的内容，完善“单元学习指引表”；一方面，通过表格的填写，回顾和梳理本节课所学习的内容，帮助学生形成反思的学习习惯；另一方面，明确本节课所学习内容的知识结构和过程方法，融合到整个单元的学习内容体系中。(2)习题2.1

1、2、3；通过教材中习题，巩固本节课学习的知识。(3)根据“单元学习指引表”中，对确定直线的基本要素的梳理内容，类比点与坐标的对应关系，思考如何用代数方法表示直线。单元的学习具有整体性，课时之间也有内在的逻辑顺序和联系，本节课研究确定直线位置的基本元素，是为之后研究如何用代数方法表示直线这一几何对象，即研究直线的方程起到铺垫作用，可以通过作业让学生先行思考，从而为单元中其它课时的学习服务。三、教学设计——本节课的活动设计1.对于学情的掌握有助于合理设计单元学习活动

人教版《普通高中教科书数学选择性必修第一册》在“直线的傾斜角与斜率”这一课时中并没有专门介绍与一次函数有关的内容，但是在单元前准备活动阶段，有一部分学生在梳理直线相关知识的时候就提到了一次函数，在实际的课堂教学中，也有学生提及一次函数，基于课前调查，教师掌握了学生的情况，所以在研究直线斜率时，设计了写一次函数有关的活动，符合学生的实际认知情况。四、教学反思2.单元起始课服务于整个单元学习的任务驱动

在单元的起始课，就在课前平面几何知识梳理的基础上，向学生说明本单元的主旨——运用代数方法研究几何问题，使得学生对于整个单元能够有一个初步的整体认知，明确本单元的主要任务。“单元学习指引表”的设计与使用，使得学生将已有的知识与本单元学习的知识进行对比，通过不同的方法研究同一个对象，在比较方法各自优点的同时，还会有新的发现，为学生体会解析几何的基本思想提供帮助。四、教学反思3.课时活动设计是单元活动设计的一部分

课时学习活动是单元学习活动的有机组成部分,基于单元学习活动开展的课时学习活动设计，可以给学生一个整体连贯的体验，为本单元其他课时学生自发的学习活动提供引领和参考。四、教学反思4.活动设计要把握好学生主体和教师引导之间的关系

学习活动的形式，对是否能够高效达成活动设计意图有着重要的影响