【高中数学课件】极值

高中数学：极值函数极值是高中数学的重要概念，也是后续学习微积分的基础。本课件将带领大家深入学习极值的定义、性质以及求解方法，并结合具体例题进行讲解。导言11.引入学习极值是高中数学的重要内容，也是后续学习微积分的基础。从实际问题切入，让学生体会极值的意义。22.意义极值问题广泛存在于现实生活中，例如求最优解、最值等，学习极值有助于学生更好地理解数学知识在实际生活中的应用。33.目标通过学习，学生能够掌握极值的定义、性质和解决方法，并能运用这些知识解决实际问题。初次接触极值在日常生活中，我们经常会遇到一些与极值相关的问题。例如，我们要找到一条最短的路径，或者要找到一个最大的面积。在数学中，极值的概念也十分重要，它帮助我们解决许多优化问题，找到函数的最大值或最小值。极值的定义最大值函数在定义域内取得的最大值，称为函数的最大值，即最大值是函数在定义域内所有函数值中的最大值。最小值函数在定义域内取得的最小值，称为函数的最小值，即最小值是函数在定义域内所有函数值中的最小值。极大值函数在某点附近的局部最大值，称为函数的极大值，即极大值是函数在该点附近所有函数值中的最大值。极小值函数在某点附近的局部最小值，称为函数的极小值，即极小值是函数在该点附近所有函数值中的最小值。极值的特点极值点函数在极值点处取得最大值或最小值。极值点通常对应函数图像的峰值或谷值。临界点函数的导数为零或不存在的点称为临界点。极值点通常是临界点，但临界点不一定是极值点。极值的基本性质单调性函数在极值点附近的变化趋势，由导数符号决定导数为零一阶导数为零，函数可能在该点取得极值二阶导数二阶导数可以判断极值点是极大值还是极小值函数图像通过观察函数图像，可以直观地判断极值点极值问题的解决步骤确定函数首先要确定函数表达式，并明确定义域，为后续步骤提供基础。寻找临界点求解导数并找出导数为零或不存在的点，这些点可能对应函数的极值点。判断临界点类型利用导数的符号变化情况或二阶导数判定临界点是极大值点、极小值点还是拐点。比较大小将所有可能的极值点和端点代入原函数，比较大小，确定最大值或最小值。寻找临界点寻找临界点是求函数极值的关键步骤，它标志着函数导数的变化点。在临界点处，导数可能为零，也可能不存在。1导数为零函数在该点处的切线平行于x轴。2导数不存在函数在该点处可能存在尖点或拐点。3定义域边界函数定义域的边界点也可能是临界点。临界点分类极大值点函数在该点左侧递增，右侧递减，对应图形为函数图像的“山峰”。极小值点函数在该点左侧递减，右侧递增，对应图形为函数图像的“山谷”。拐点函数在该点两侧的单调性相同，图形形状发生变化，如从凹形变为凸形或反之。判断临界点类型确定一个临界点是最大值、最小值还是鞍点，需要根据函数的一阶导数和二阶导数来判断。1一阶导数如果一阶导数在临界点处为零，则该临界点可能为极值点或鞍点。2二阶导数如果二阶导数在临界点处为正，则该临界点为局部最小值点。3二阶导数如果二阶导数在临界点处为负，则该临界点为局部最大值点。4二阶导数如果二阶导数在临界点处为零，则无法确定临界点的类型，需要进一步分析。通过分析函数的一阶导数和二阶导数，我们可以准确地判断临界点的类型，从而找到函数的极值点。如何判断临界点类型1一阶导数符号变化临界点处一阶导数符号的变化可以判断极值类型。导数从正变负，则为极大值点；导数从负变正，则为极小值点。2二阶导数符号在临界点处，如果二阶导数小于零，则为极大值点；如果二阶导数大于零，则为极小值点。如果二阶导数等于零，则无法判断极值类型，需要进一步分析。3函数图像变化通过观察函数图像在临界点附近的变化趋势，也可以判断极值类型。如果函数图像在临界点附近先上升后下降，则为极大值点；如果函数图像在临界点附近先下降后上升，则为极小值点。案例分析1求函数y=x3-3x+2在区间[-2,2]上的极值求导数：y'=3x2-3令导数为零，求得驻点：x=1或x=-1判断驻点类型：x=1为极小值点，x=-1为极大值点计算极值：y(1)=0，y(-1)=4比较端点函数值：y(-2)=0，y(2)=6结论：函数在区间[-2,2]上的最小值为0，最大值为6案例分析2函数f(x)=x^3-3x^2+3x在区间[0,2]上的最大值和最小值。求解：首先，我们需要找到函数的导数：f'(x)=3x^2-6x+3。令f'(x)=0，求得x=1。然后，我们比较函数在区间端点和临界点处的函数值：f(0)=0，f(1)=1，f(2)=2。因此，函数在区间[0,2]上的最大值为2，最小值为0。案例分析3函数图像找到函数极值点，并分析其类型。微积分利用导数来判断函数的极值点类型，并求出极值。分析通过函数的性质和图像来解释极值点和极值的意义。最大值问题最大值在给定范围内，函数取得的最大值，称为函数的最大值。最大值可能是唯一一个值，也可能是多个值。求函数的最大值问题，通常需要先求出函数的临界点，然后判断临界点是最大值点，还是最小值点，或者都不是。最小值问题11.寻找临界点首先要找到函数的导数为零或不存在的点，即函数的临界点。22.判断临界点类型通过二阶导数或其他方法，判断每个临界点是极大值点、极小值点还是鞍点。33.比较函数值将函数在所有临界点和定义域边界上的函数值进行比较，找到最小值。应用案例1在现实生活中，极值问题有很多应用，比如：寻找最佳路径，最大化利润，最小化成本等。在这些问题中，我们需要利用数学知识找到函数的极值点，从而得出最佳方案。例如，一个企业想要在一段时间内最大化利润，可以建立一个函数模型，用极值点来表示利润最大化的生产量或销售价格。应用案例2最大值问题在实际生活中应用广泛。例如，要设计一个容积最大的长方体盒子，需要找到其长、宽、高的最优组合，从而最大化其体积。这个问题可以转化为求函数的最大值问题。应用案例3在经济学中，边际成本和边际收益分析是企业决策的重要工具。通过找到成本和收益曲线交点，企业可以确定最佳生产量，实现利润最大化。这体现了极值在经济学领域的应用。应用案例4运动中的极值问题运动员在跑步比赛中，如何才能达到最佳速度？这涉及到速度函数的极值问题。桥梁结构设计桥梁设计需要考虑承重和稳定性，这可以通过优化结构参数来实现，而优化过程也涉及到极值问题。火箭发射轨迹火箭发射时需要选择最佳发射角度和推进力，以达到最远射程或最大高度，这同样涉及到极值问题。注意事项注意时间时间管理很重要，合理分配时间可以提高学习效率。注意细节解题过程中注意每个步骤，避免因细节问题导致错误。注意思考不要死记硬背公式，要理解背后的逻辑，才能举一反三。常见错误忽略临界点在求函数极值时，要仔细检查函数的定义域和临界点，不要遗漏任何可能的极值点。误判极值点类型使用一阶导数或二阶导数检验时，要准确判断临界点类型，避免误判为极值点。不注意极值点和最值点区别极值点指的是函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值点，而最值点指的是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值点。忽视函数图像变化趋势可以通过画函数图像来直观地观察函数的单调性、极值点等，帮助理解和判断函数的极值问题。习题演练1以下是一些关于极值的练习题，帮助你巩固所学知识。请尝试独立解答，然后对照答案进行分析。练习题1：求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,2]上的极值。练习题2：求函数g(x)=(x^2+1)/(x-1)的极值。这些练习题涵盖了不同的极值求解方法和技巧，例如利用导数求极值，利用单调性求极值等。习题演练2为了巩固对极值概念的理解，我们准备了一些练习题。这些练习题涵盖了不同类型的函数，包括一次函数、二次函数、三次函数等。通过练习，你可以更加熟练地运用求解极值的方法，并提高对极值问题的分析能力。习题演练3本节课主要学习了极值的概念、性质和求解方法，并通过多个案例分析加深了对极值的理解。为了巩固所学知识，接下来进行一些习题演练。第一题，求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点和极值。本题要求学生运用导数求函数的极值点和极值。第二题，求函数f(x)=x^2/(x+1)的极值点和极值。本题考察学生对函数单调性与极值关系的理解。第三题，已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在点x=1处取得极值，且f(0)=1，求a,b,c的值。本题考察学生对导数的应用和方程组的解题能力。通过以上习题演练，学生可以加深对极值的理解，并掌握求解极值的方法。习题演练4函数f(x)=x³+3x²+3x+1在区间(-2,1)内的极值.首先，求导数f'(x)=3x²+6x+3.令f'(x)=0,解得x=-1.所以，函数f(x)在x=-1处有一个临界点.然后，判断临界点的类型，可知x=-1为极小值点.最后，计算函数在区间端点的值f(-2)=-1,f(1)=8.因此，函数f(x)在区间(-2,1)内的极小值为f(-1)=0,极大值为f(1)=8.小结关键概念极值是函数在特定点上的最大值或最小值。寻找极值通过求导并分析导数的符号变化来找到极值点。应用场景极值概念广泛应用于优化问题、物理模型和经济学等领域。课后思考函数图像如何利用极值点来理解函数图像的形状？应用场景试着寻找生活中应用极值