2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1.3古典概型练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第十章10.110.1.3A级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的是()A．从6名同学中，选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD【解析】A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型．故选ABD．2．(2024年湖南月考)五行学说是华夏民族创建的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)【答案】A【解析】金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本领件总数n＝10,2类元素相生包含的基本领件有5个，则2类元素相生的概率p＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).故选A．3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参与演讲竞赛，则甲、乙都当选的概率为()A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(3,5)【答案】C【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为eq\f(3,10).故选C．4．(2024年宁德月考改编)2024年起，广东省高考将实行“3＋1＋2”新高考．“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】A【解析】基本领件总数n＝12，某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到包含的基本领件个数m＝3，历史和政治均被选择到的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).故选A．5．某部三册的小说，随意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】全部样本点为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点，所以p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选B．6．(2024年沧州期末)定义：abcde＝10000a＋1000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满意a<b<c，且c>d>e时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，若从中随意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,20)【答案】D【解析】由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率p＝eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).故选D．7．(2024年南通模拟)某一般中学有数学、物理、化学、计算机四个爱好小组，甲、乙两位同学各自随机参与一个爱好小组，则这两位同学参与不同的爱好小组的概率为________．【答案】eq\f(3,4)【解析】甲、乙两位同学参与爱好小组的基本领件总数为16，甲、乙两位同学参与相同的爱好小组的基本领件个数为4，故两位同学参与不同的爱好小组的概率p＝1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).8．(2024年钦州期末)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中随意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为_________．【答案】eq\f(2,5)【解析】从五本书中随意选出2本书的全部可能状况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种，满意2本书编号相连的全部可能状况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).9．(2024年钦州期末)将一颗质地匀称的骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，并分别记为x，y.(1)若记“x＋y＝5”为事务A，求事务A发生的概率；(2)若记“x2＋y2≤10”为事务B，求事务B发生的概率．解：将一颗质地匀称的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，因为骰子共抛掷2次，所以共有36种结果．(1)事务A发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果，所以事务A发生的概率为P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)事务B发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果，所以事务B发生的概率为P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).10．(2024年北京期末)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：性别选考方案确定状况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有5人552120选考方案待确定的有7人643242女生选考方案确定的有6人352332选考方案待确定的有2人121011(1)在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？(2)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．解：(1)由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数是2.(2)由统计表可知，已确定选考科目5名男生中，有2人选择物理、化学和生物，记为a1，a2，有1人选择物理、化学和历史，记为b，有2人选择物理、化学和地理，记为c1，c2.从已确定选考科目的男生中任选2人，有10种选法，分别为：a1a2，a1b，a1c1，a1c2，a2b，a2c1，a2c2，bc1，bc2，c1c2，两名学生选考科目完全相同的有2种选法，分别为：a1a2，c1c2，设事务A为“从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两名学生选考科目完全相同”，则P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).B级——实力提升练11．有一列数由奇数组成：1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，其次组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,5)【答案】B【解析】由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91,93,95,97,99,101,103,105,107,109，其中恰为3的倍数的数为93,99,105.故所求概率p＝eq\f(3,10).故选B．12．从1,2,3,4中任取两个不同的数，则取出两个数之差的肯定值为2的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)【答案】B【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种不同的结果，取出的2个数之差的肯定值为2有(1,3)，(2,4)共2种结果，故取出两个数之差的肯定值为2的概率p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选B．13．(2024年上海月考)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________．【答案】eq\f(1,4)【解析】集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一个数k∈A，基本领件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本领件个数m＝2，∴所求概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).14．将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是10的概率为________，向上的点数之和不小于10的概率为________．【答案】eq\f(1,12)eq\f(1,6)【解析】将两骰子投掷一次，共有36种状况．向上的点数之和为10的状况有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3种，故概率p1＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)；向上的点数之和不小于10的状况有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，故概率p2＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).15．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满意logba≥1”为事务E，则E发生的概率是________．【答案】eq\f(5,12)【解析】事务E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满意条件的样本点是满意logba≥1，可以列举出全部的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4；当b＝3时，a＝3,4.所以依据古典概型的概率公式得到概率是eq\f(3＋2,12)＝eq\f(5,12).16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参与书画竞赛，其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出全部可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出全部可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A，B，C，其中A为女同学，B，C为男同学，选出的3名高二乙班同学为D，E，F，其中D为男同学，E，F为女同学．从这6名同学中抽出2人的全部可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F)，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).(2)高二甲班和乙班各选1名的全部可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为eq\f(4,9).17．在某亲子嬉戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，登记数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，登记小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则嘉奖飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上，则嘉奖汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则嘉奖饮料一瓶．(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率哪个更大？请说明理由．解：样本空间Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}共16个．(1)记“获得飞机玩具”为事务A，事务A包含的样本点有(2,3)，(3,2)，(3,3)共3个．故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝eq\f(3,16).(2)记“获得汽车玩具”为事务B，“获得饮料”为事务C．事务B包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事务C包含的样本点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)，(3,0)共7个，所以P(C)＝eq\f(7,16).所以P(B)<P(C)，即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率．C级——探究创新练18．(2024年江西月考)某学校有40名中学生参与足球特长生初选，第一轮测身高和体