2024-2025学年高中数学第三章不等式3.1不等关系学案含解析北师大版必修5

PAGE§1不等关系内容标准学科素养1.会用不等式(组)正确表示出不等关系.2.理解并驾驭不等式的常用基本性质.3.会用作差法比较两个实数大小.严密逻辑推理提升数学运算规范性质应用授课提示：对应学生用书第51页[基础相识]学问点一不等式与不等关系预习教材P69－74，思索并完成以下问题某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.(1)问题中表示不等关系的词是什么？用符号怎样表示？提示：不少于，用符号表示为≥.(2)你能用不等式表示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？提示：f≥2.5%，p≥2.3%.学问梳理1.不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号＞、＜、≥、≤或≠．(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤学问点二实数的大小比较思索并完成以下问题1．在指数、幂、对数比较大小时，常用什么方法？提示：单调性比较．2．假如给定实数a与b，那么如何比较它们的大小呢？提示：通常是通过推断它们的差(a－b)的符号来比较它们的大小．当a与b都不为0时，也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小．学问梳理比较实数a，b的大小的依据学问点三不等式的性质思索并完成以下问题我们知道等式有一些基本性质，例如：(1)a＝bb＝a；(2)a＝b，b＝ca＝c；(3)a＝ba＋c＝b＋c；(4)a＝b，c≠0ac＝bc.那么不等式是否也具有类似的性质呢？提示：不等式也具有类似的性质．学问梳理不等式的几个重要性质名称式子表达性质1(对称性)a＞bb＜a性质2(传递性)a＞b，b＞ca＞c性质3(可加性)a＞ba＋c＞b＋c性质4(可乘性)a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac性质5(同向可加性)a＞b，c＞da＋c＞b＋d性质6(同向同正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0ac＞性质7(可乘方性)a＞b＞0an＞bn(n∈N，n≥1)性质8(可开方性)a＞b＞0eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)[自我检测]1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x(x≥0)人，瓦工y(y≥0)人，则关于工资x，y满意的不等关系是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：依据题，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D.答案：D2．若A＝eq\f(1,x2)＋3与B＝eq\f(1,x)＋2，则A与B的大小关系是()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．不确定解析：由于A－B＝eq\f(1,x2)＋3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，所以A＞B，故选A.答案：A3．已知－1＜2x－1＜1，则eq\f(2,x)－1的取值范围是________．解析：由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1，所以eq\f(1,x)＞1.于是eq\f(2,x)＞2，eq\f(2,x)－1＞1，故eq\f(2,x)－1的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)授课提示：对应学生用书第52页探究一用不等式(组)表示不等关系[阅读教材P70例4例5及解答]题型：用不等式(组)表示不等关系方法步骤：①找到表示不等关系的词语；②用不等式将不等关系表示出来．[例1](1)如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．(2)商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采纳提高售价，削减进货量的方法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应削减10件，若把提价后的商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[解题指南](1)借助两图形面积的大小关系建立a，b的不等式．(2)利用利润＝(售价－进价)×销售量及利润不低于300元建立不等式．[解析](1)题图1所示的广告牌的面积为eq\f(1,2)(a2＋b2)，题图2所示的广告牌的面积为ab，明显不等式表示为eq\f(1,2)(a2＋b2)＞ab.(2)若提价后商品的售价为x元，则销售量削减eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.[答案](1)eq\f(1,2)(a2＋b2)＞ab(2)见解析方法技巧1.用不等式(组)表示不等关系的方法(1)仔细审题，设出所求量，并确认所求量满意的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特殊须要考虑的是“＜”“＞”中的“＝”能否取到．(3)多个不等关系用不等式组来表示．留意：对于实际问题中不要漏掉隐含条件．2．文字语言与数学符号语言之间的转换．将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换，关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系．跟踪探究1.已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B，试用不等式组表示x，y所满意的不等关系．解析：由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位，含有维生素B800x单位，ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位，含有维生素B400y单位，则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(600x＋700y≥56000，,800x＋400y≥63000，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≥560，,4x＋2y≥315，,x≥0，,y≥0.))探究二比较数(式)的大小[阅读教材P72例6及解答]试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．题型：比较两代数式的大小．方法步骤：①作差．②化简．③推断符号下结论．[例2](1)设a＞0，b＞0，且a≠b，则abba和aabb的大小关系是________；(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解题指南](1)由a＞b＞0可知aabb＞0，abba＞0，故可考虑用作商法比较大小；(2)由于是整式比较大小，可以考虑用作差法比较大小．[解析](1)∵a＞0，b＞0，且a≠b，可知aabb＞0，abba＞0，由eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)，当a＞b＞0时，由eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)＞1，∴aabb＞abba.当b＞a＞0时，由0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)＞1，∴aabb＞abba.综上可得，aabb＞abba.(2)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．因为x＞1，所以x－1＞0，又x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0.所以(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x.[答案](1)aabb＞abba(2)见解析延长探究1.若题(2)中条件不变，问法改为“比较x3＋6x与x2＋6的大小”结果如何？解析：因为(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，又因为x＞1，所以(x－1)(x2＋6)＞0，所以x3＋6x＞x2＋6.2．题(2)中，若把条件“x＞1”改为“x∈R”解析：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，所以当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x；当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.方法技巧比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以依据它们的差的符号进行推断，一方面留意题目本身供应的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后推断正负．作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性．跟踪探究2.设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．解析：∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1，1＜1＋x＜2，当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)．∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1.∴loga(1－x2)＜0，－loga(1－x2)＞0，∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.当0＜a＜1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，∴loga(1－x2)＞0.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.综上所述：当0＜x＜1，a＞0且a≠1时，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.探究三不等式性质的应用[阅读教材P73例8及解答]题型：不等式性质的应用方法步骤：①分别表示出增加面积前后的比值；②比较两个比值的大小；③得出结论．[例3](1)已知－6＜a＜8，2＜b＜3，则eq\f(a,b)的取值范围是________．(2)已知a＞b＞0，c＞0，求证eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).[解题指南](1)留意对a分0≤a＜8和－6＜a＜0探讨．(2)依据不等式的可乘性证明．[解析](1)当0≤a＜8时，由2＜b＜3，所以eq\f(1,3)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以0≤eq\f(a,b)＜4；当－6＜a＜0时，0＜－a＜6，又eq\f(1,3)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2).所以0＜－eq\f(a,b)＜3，－3＜eq\f(a,b)＜0.综上，得－3＜eq\f(a,b)＜4.(2)证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，eq\f(1,ab)＞0，于是a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，又c＞0，得eq\f(c,b)＞eq\f(c,a)，即eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).[答案](1)(－3，4)(2)见解析延长探究3.题(2)中条件“c＞0”改为“c＞d＞0”，证明：eq\r(\f(c,b))＞eq\r(\f(d,a)).证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，eq\f(1,ab)＞0，于是a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＞0，又c＞d＞0.所以eq\f(c,b)＞eq\f(d,a)＞0，所以eq\r(\f(c,b))＞eq\r(\f(d,a)).4．题(2)中条件“c＞0”改为“c＜d＜0，e＞0”，证明：eq\f(e,a－c)＜eq\f(e,b－d).证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又e＞0，所以eq\f(e,a－c)＜eq\f(e,b－d).方法技巧1.利用不等式的性质证明不等式留意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题肯定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．求含有字母的数(或式)的取值范围时的留意点(1)要留意题设中的条件；(2)要正确运用不等式的性质，尤其是两个同向不等式可加不行减，可乘不行除．跟踪探究3.假如3＜a＜7，1＜b＜10，试求a＋b，3a－2b，eq\f(b,a2)的取值范围．解析：因为3＜a＜7，1＜b＜10，所以3＋1＜a＋b＜7＋10，即4＜a＋b＜17.又因为9＜3a＜21，－20＜－2b＜－2，所以－11＜3a－2b＜19.因为9＜a2＜49，所以eq\f(1,49)＜eq\f(1,a2)＜eq\f(1,9)，于是eq\f(1,49)＜eq\f(b,a2)＜eq\f(10,9).授课提示：对应学生用书第54页[课后小结](1)运用不等式的性质时，肯定要