专项04 与扇形有关的不规则图形面积的计算

专项04与扇形有关的不规则图形面积的计算方法一和差法1.(2023江苏连云港中考)如图，矩形ABCD内接于☉O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20π 第1题图 第2题图2.(2022山东淄博博山二模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点(小正方形的顶点)上，AB和CD所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为()A.3π2-2 B.53π-2 C.2π 3.(2020四川攀枝花中考)如图，直径AB=6的半圆绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'的位置，则图中阴影部分的面积是()A.π2 B.3π4 C.π 第3题图 第4题图4.(2023四川广安中考)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是()A.π-2 B.2π-2 C.2π-4 D.4π-45.(2022河南中考)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'.若∠O=90°，OA=2，则阴影部分的面积为.

6.如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，以点A为圆心，1为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，以点C为圆心，3为半径作弧，分别交AC、BC于点A、F.若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1-S2的值为.

7.(2023湖北十堰中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点.(1)求证：BC是☉O的切线；(2)若CE=2，求图中阴影部分的面积(结果保留π).方法二割补法8.(2023山东泰安岱岳一模)如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为()A.π B.π-2 C.π+2 D.π+49.(2022贵州遵义中考)如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC长为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB=1，则图中阴影部分的面积为()A.π8-18 B.π8-14 C.π2-110.(2023山东济南历下一模)如图，已知扇形AOB，点D在AB上，将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O处，作DE⊥DA交OB于点E，若∠AOB=150°，OA=4，则图中阴影部分的面积是.

11.(2022四川广元中考)如图，将☉O沿弦AB折叠，AB恰经过圆心O，若AB=23，则阴影部分的面积为.

方法三等积变形法12.(2020山东泰安中考)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是.

13.(2023山东枣庄中考)如图，AB为☉O的直径，点C是AD的中点，过点C作射线BD的垂线，垂足为E.(1)求证：CE是☉O的切线；(2)若BE=3，AB=4，求BC的长；(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).

专项04与扇形有关的不规则图形面积的计算答案全解全析1.D如图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD是直径，即BD过点O.在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2.∴S阴影=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD-S以BD为直径的圆=π×AD22+π×AB=π4(AD2+AB2-BD22.D连接OC、OD(图略)，由图形可知，阴影部分的面积=扇形AOB的面积+△OBD的面积-△ACO的面积-扇形COD的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积=90π×(22)23.D∵半圆AB绕B点顺时针旋转30°，∴S阴影=S半圆A'B+S扇形ABA'-S半圆AB=S扇形ABA'=30π×64.C在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，∴∠A=∠B=45°.∴阴影部分的面积=S扇形CAE+S扇形CBF-S△ABC=45π×(22)2360×2-125.答案π3+解析如图，设O'A'交AB于点T，连接OT.∵OT=OB=OA=2，OO'=O'B=12OB=1∴OT=2OO'.又∵∠OO'T=90°，∴∠O'TO=30°，∴∠TOO'=60°.∴O'T=OT·sin∠TOO'=3.∴S阴影=S扇形A'O'B'-(S扇形TOB-S△OTO')=90π×22360-60π×226.答案934解析∵在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.过A作AH⊥BC于H(图略)，∵AB=3，∠B=30°，∴AH=32，∴BH=332，∵△ABC的面积=扇形ACF的面积+扇形DAE的面积-S2+S1，∴S1-S2=△ABC的面积-扇形ACF的面积-扇形DAE的面积=12×33×32-30π×=934-3π4-π3=7.解析(1)证明：连接OE，OD，如图.∵∠C=90°，AC=BC，∴∠OAD=∠B=45°.∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD=45°.∴∠AOD=∠DOF=90°.∵点E是弧DF的中点，∴∠DOE=∠EOF=12∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°.∴OE⊥BC.∵OE是半径，∴BC是☉O的切线.(2)∵OE⊥BC，∠B=45°，∴△OEB是等腰直角三角形，设BE=OE=x，则AO=x，OB=2x，∴AB=x+2x.∵AB=2BC，∴x+2x=2(2+x)，解得x=2.∴S阴影=S△OEB-S扇形EOF=12×2×2-45×π×228.A解法一(和差法)：连接OE，如图，易得AD=BC=4，AB=CD=2，∠ADC=∠C=90°，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC.易得四边形OECD为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD所围成的图形的面积=S正方形OECD-S扇形EOD=22-90×π×2∴阴影部分的面积=12解法二(割补法)：连接OE交BD于F点，如图.由解法一可知四边形OECD是正方形，∴OD=EC=BE，易证△ODF≌△EBF，∴S△ODF=S△EBF.∴阴影部分的面积=S扇形DOE=90×π×29.B∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD=OC=22，∴∠BOM+∠CON=180°-∠BOC=90°，∴S阴影=90π×222360-12×110.答案8解析如图，连接OD.∵将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O处，∴AD=OD，AD=OD.∴S弓形AD=S弓形OD.∴S阴影=S△ODE.∵AO=OD，∴OA=OD=AD.∴∠AOD=∠ADO=60°.∵∠AOB=150°，∴∠DOE=90°.∵DE⊥DA，∴∠ADE=90°.∴∠ODE=30°.∵AO=OD=4，∴OE=OD·tan∠ODE=43∴图中阴影部分的面积=S△ODE=12×43311.答案2π解析如图，过点O作AB的垂线，垂足为C，交☉O于点D，连接AO，AD，则AC=12AB=12×23=由折叠的性质知OA=DA，∵OA=OD，∴OA=OD=AD，∴△AOD是等边三角形.∴∠D=∠AOD=60°.∴AD=OA=ACsin∠AOD∴S△ACD=S△BCO，∴阴影部分的面积=S扇形ADO=60360×π×22=2π12.答案64π3-8解析如图，连接OA.∵∠ABO=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形.∴∠AOB=60°，OA=AB=8.∵AD∥OB，∴∠DAO=∠AOB=60°.∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形.∴∠AOD=60°.∴∠DOE=60°.∵DC⊥BE，∴CD=OD·sin∠DOC=8×32=43，OC=OD·cos∠DOC=8×12=4.∵AD∥BO，∴S△AOD=S∴S阴影=S扇形AOD+S扇形DOE-S△OCD=2×60π×82360-12×4×43=13.解析(1)证明：如图，连接OC.∵点C是AD的中点，∴AC=DC.∴∠ABC=∠EBC.∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB.∴∠EBC=∠OCB.∴OC∥BE.∵BE⊥CE，∴∠E=90°.∴∠ECO=180°-90°=90°.∴半径OC⊥CE.∴CE是☉O的切线.(2)如图，连接AC.∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠ACB=∠E=90°.∵∠ABC=∠EBC，∴△ACB∽△CEB.∴ABBC=BC