专项07 跨学科专题(一)

专项07跨学科专题(一)类型一与地理融合1.(2023河南洛阳第二外国语学校月考)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度.小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度.根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米.(参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)

类型二与体育与健康融合2.(2023河南中考)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.(1)求点P的坐标和a的值；(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.3.(2023甘肃兰州中考)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m.(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.类型三与生物融合4.(2023山西大同模拟)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值y(单位：IU)与温度x(单位：℃)的关系可以近似用二次函数y=-12x2+14x+142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为5.(2023贵州贵阳模拟)一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似地看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图①与图②所示. 如图③，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下方的轮廓线可以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标.如图③，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，直线x=6分别交抛物线和直线AB于点E，F，点E、E'是叶片上的一对对称点，EE'交直线AB于点G.求叶片此处的宽度EE'的长.兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，如图④，幼苗叶片下方的轮廓线正好对应中的抛物线y=mx2-4mx-20m+5.若直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D'时，叶尖Q落在射线OP上(如图⑤所示).求此时一片幼苗叶子的长度和最大宽度.类型四与信息科技融合6.(2022湖北鄂州中考)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)的图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F0,14a的距离MF，始终等于它到定直线l：y=-14a的距离MN(该结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=-14a叫做抛物线的准线方程，其中原点O为FH的中点，FH=2OF=12a.例如：抛物线y=12x2，其焦点坐标为F(1)请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程：；

(2)如图2所示，已知抛物线y=18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标(3)如图3所示，已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C，若BC=2BF，AF=4，求a的值；(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：ACAB=BCAC=5-12.后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点.如图4所示，抛物线y=14x-1)，E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当MHMF=2时，

专项07跨学科专题(一)答案全解全析1.33792解析如图，作OK⊥BC于K，则∠BKO=90°，∵BC∥OA，∠AOB=28°，∴∠B=∠AOB=28°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400千米，∴BK=OB·cosB≈6400×0.88=5632(千米)，∴北纬28°纬线的长度=2π·BK≈2×3×5632=33792(千米).2.解析(1)在y=-0.4x+2.8中，令x=0，得y=2.8，∴点P的坐标为(0，2.8).把P(0，2.8)代入y=a(x-1)2+3.2，得a+3.2=2.8，解得a=-0.4.(2)∵OA=3m，CA=2m，∴OC=5m，∴C(5，0)，在y=-0.4x+2.8中，令y=0，得x=7，在y=-0.4(x-1)2+3.2中，令y=0，得-0.4(x-1)2+3.2=0，解得x=-22+1(舍去)或x=22+1≈3.83，∵|7-5|>|3.83-5|，∴选择吊球，球的落地点到C点的距离更近.3.解析(1)根据题意可得，抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为直线x=1，设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴c=10,9a+3b+c=7,-b2a=1,(2)在y=-x2+2x+10中，令y=0，得0=-x2+2x+10，解得x=11+1或x=-11+1(舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(11+1)米.4.240解析∵y=-12x2+14x+142=-12(x-14)2+240，∴当x=14时，y的最大值为240，故当温度为14℃时5.解析∵抛物线y=mx2-4mx-20m+5过原点，∴-20m+5=0，解得m=14，∴抛物线的表达式为y=14x2-x=14(x-2)∴顶点D(2，-1).当x=6时，y=14x2-x=3，∴点E(6，3)；当x=6时，y=x+2=8∴点F(6，8)，∴EF=8-3=5，∵EF∥OB，∴∠GFE=∠ABO=45°，∵E，E'是叶片上的一对对称点，∴EE'=2EG，EG⊥FG，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=22EF=522，如图，在QD'上取点M，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，交过点D'与x轴平行的直线于点L，过点N作NS⊥QD'于点S，由知点D(2，-1)，∵直线PD与水平线的夹角为45°，∴直线PD的表达式为y=-x+1，联立y=14x2∴点P(-2，3)，∴点D'(2，3)，将点D'的坐标代入y=mx2-4mx-20m+5得3=4m-8m-20m+5，解得m=112，∴抛物线的表达式为y=112x2-13x+103，由点P的坐标得直线OP的表达式为y=-32x，联立y=112x2-13x+103,y=−32x,解得x=−4,y=6或x=−10,y=15(舍去)，∴点Q(-4，6)，由点Q、D'的坐标得D'Q=35，yQD'=-12x+4，即一片幼苗叶子的长度为35.设点Mx,−12∴当x=-1时，MN的最大值为34，由直线D'Q的表达式知，tan∠MD'L=12，∴tan∠NMS=2，∴sin∠NMS=255，∴一片幼苗叶子的最大宽度=2NS最大值=2×MN6.解析(1)0,18；y=-(2)∵a=18，∴-14×18=-2，∴准线方程为y=-2，∴点P的纵坐标为4，∴18x2=4，∴x=±42，∴点P的坐标为(42(3)如图，作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，∴AG=AF=4，BK=BF，FH=12a，∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，∴BKFH=BCCF，BKAG=BCAC，∴BF12