陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期七校期中联考数学试题 含解析

2024~2025学年第一学期高二年级七校期中联考试题数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线倾斜角和斜率的关键即可得解.【详解】由题意直线，可得斜率为，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以，即直线的倾斜角为.故选：A.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标.【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是.故选：A.3.某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（）A. B.120 C.150 D.210【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的坐标运算求得，可求.【详解】因为，所以，所以.故选：C.4.两平行直线：，：之间的距离为（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可．【详解】由题意得：直线，，，，两直线为平行直线，直线，两平行直线之间的距离为．故选：A5.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解.【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，所以线段的中点坐标为，又，则，所以直线的方程为，即.故选：D.6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】因为，，所以，，则向量在向量上的投影向量为：.故选：D.7.已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得的轨迹方程为，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆的方程为，设，，则,所以,又在圆上，所以，即，即的轨迹方程为.如图所示，当与圆相切时，取得最大值，此时，，所以的最大值为.故选:A8.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明平面，以点为原点，，的方向分别为x，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解.【详解】解：由题意得：因为，为中点所以又，与交于点A，平面，平面所以平面以点为原点，，的方向分别为x，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，所以所以又，，设平面的法向量，则令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍）故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0 B.2 C. D.4【答案】AB【解析】【分析】利用两直线平行，得出斜率相等，进而求解.【详解】因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选：.10.已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（）A. B.平面平面C. D.点到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】根据面面平行的判定定理判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断线线关系判断AC，根据点面距离的向量公式求解距离判断D.【详解】因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正确；如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A错误，C正确；设平面的法向量，，则，令，则，即，又，所以，故点到平面的距离为，故D正确.故选：BCD11.已知点，直线及圆，则下列结论正确的是（）A.若点在上，则与相切B.若点在圆上，则被圆截得弦长为C.若点在圆外，过点作圆的切线，则为过两切点的直线D.若点在圆内，过点的直线与圆交于点，则圆在处的切线的交点在l上【答案】ACD【解析】【分析】A计算圆的圆心到的距离可判断选项正误；B计算圆的圆心到的距离结合弦长公式可判断选项正误；C由A选项分析可判断选项正误；D由C选项分析可判断选项正误.【详解】对于A，点在上，则，圆的圆心到的距离，故与相切，A正确；对于B，点在圆上，则，圆的圆心到的距离：，所以被圆截得的弦长为，B错误；对于C，设两切点分别为，由A选项分析可知：圆在点处的切线方程分别为，因为点在两切线上，所以，所以点都在直线上，C正确；对于D，由选项C知，设圆在处的切线的交点为，则的方程为，由点在该直线上，所以，所以点在直线上，D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量，若，则__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示式列方程解之即得.【详解】因为，所以，即，故.故答案为：2.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.【答案】或【解析】【分析】结合图象确定圆心在轴上，再通过半径得到等式求解即可.【详解】结合图象，易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，圆不可能经过点，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.故答案为：或14.已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________.【答案】【解析】【分析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，得，运用两点间的距离公式计算即可.【详解】解：作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，得，易得C−2,0，，直线的方程是，设，则得，即，.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可；（2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可.【小问1详解】因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，所以.小问2详解】因为点与点到直线的距离相等，由点到直线的距离公式得.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.在正四棱柱中，，E为的中点，F为上靠近B的三等分点．（1）求异面直线CF与所成角的余弦值；（2）求直线CF与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量的数量积计算求解；（2）根据线面角的正弦等于线法角余弦的绝对值求解．【小问1详解】解：以D为原点，分别以方向为轴，建立如下所示的空间坐标系，则由题意可知：，，，，，，，∴，，设，则，∵F为上靠近B的三等分点，∴，，，，，，设异面直线CF与所成角为且，则．【小问2详解】解：由（1）可求得：，，，设为平面法向量，则，即，解得：，，，设直线CF与平面所成角为，则．17.已知圆，圆．（1）讨论圆与圆的位置关系；（2）当时，求圆与圆的公切线的方程．【答案】（1）答案见解析（2），或.【解析】【分析】（1）求两圆圆心距及半径，利用几何法判断两圆位置关系；（2）先判断两圆位置关系，法一，设出公切线方程，由切线分别与两圆相切建立等量关系待定系数即可；法二，由相似性质与半径比，可得到公切线与轴交点坐标，再由交点设出点斜式方程待定斜率即可.小问1详解】由题意知，，两圆的半径分别为和4，①当，即，解得或时，圆与圆内含；②当，即，解得或时，圆与圆内切；③当，即，解得时，圆与圆相交；④当时，，无解，即圆与圆不可能外切也不可能外离．综上所述，当或时，圆与圆内含；当或时，圆与圆内切；当时，圆与圆相交.【小问2详解】当时，由（1）得圆与圆相交，由图可知公切线的斜率存在，法一：设圆，圆的公切线的方程为，即，则由直线与两圆都相切可得，，所以，则，或即或，分别代入，得或（无解），解得，所以，或.则公切线方程为或，即为，或.法二：因为两圆圆心都在轴上，则由对称性可知，两公切线关于轴对称，且交点在轴上，设为点，如图，，则与相似，则有，又由,得，所以有，解得，即，设公切线方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，则公切线方程为或，即为，或.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面.（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；（2）已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）如图通过证明平面，可建立以点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案；（2）由题可得平面的法向量，后设，可得点到平面的距离关于的表达式，即可得答案.【小问1详解】取的中点分别为，连接，因为底面是正方形，所以，因为是正三角形，为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意：，，设平面的法向量为n=x,y,z，所以，即，令，则，即平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角为，则，所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为.【小问2详解】因为分别是线段上一点，且，所以，所以，设平面的法向量为，所以，即，令，则，即平面的一个法向量为，设，则，所以点到平面的距离，解得（舍去），即.19.已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由新定义得到，结合为常数，即可求解；（2）设，由定义得到，从而有，求得，再由，即可求解；（3）由及定义得到以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程：，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题.【小问1详解】因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设Px