专项02 圆切线中辅助线的添加

专项02圆切线中辅助线的添加方法一遇切线——连半径，得垂直1.(2023山东威海乳山一模)如图，AB是☉O的直径，过☉O上的点C作☉O的切线，交AB的延长线于点D，连接AC，若∠D=40°，则∠CAD=()A.20° B.25° C.30° D.40° 第1题图 第2题图2.(2023山东烟台一模)如图，GC，GB是☉O的切线，C是☉O上一点，AB是☉O的直径，GC与BA的延长线交于点E，过点C作弦CD∥AB，连接DO并延长与圆交于点F，连接CF，若AE=2，CE=4，则CD的长度为.

3.(2023四川广元中考)如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，连接AC，BC，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F.(1)求证：∠BCD=∠BOE；(2)若sin∠CAB=35，AB=10，方法二证切线——连半径，证垂直4.(2022广西贺州中考)如图，△ABC内接于☉O，AB是直径，延长AB到点E，使得BE=BC=6，连接EC，且∠ECB=∠CAB，点D是AB上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F.(1)求证：EC是☉O的切线；(2)若CB平分∠ECD，求AD的长.5.(2023湖北随州中考)如图，AB是☉O的直径，点E，C在☉O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F.(1)求证：DC是☉O的切线；(2)若AE=2，sin∠AFD=13①求☉O的半径；②求线段DE的长.6.(2023四川遂宁中考节选)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，AD=CD，过点D的直线交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM=∠DAC.(1)求证：MN是☉O的切线；(2)求证：AD2=AB·CN.方法三证切线——作垂直，证半径7.(2022广西贵港中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，☉O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=12(1)求证：AF是☉O的切线；(2)若BC=6，sinB=45，

专项02圆切线中辅助线的添加答案全解全析1.B如图，连接OC.∵CD是☉O的切线，∴∠OCD=90°.∵∠D=40°，∴∠COD=50°.∴∠CAD=12∠COD=25°，2.答案18解析如图，设CF交AB于点H，连接OC.∵GC是☉O的切线，∴OC⊥GE.∴∠OCE=90°.设☉O的半径为r，则OC=r，OE=r+2.在Rt△OCE中，由勾股定理得，OC2+CE2=OE2，即r2+42=(r+2)2，解得r=3.∵DF为☉O的直径，∴∠DCF=90°.∵CD∥AB，∴∠CHE=∠DCF=90°.∴CF⊥AB.∴CH=FH.∵12CH·OE=12OC·CE，∴CH=3×45∴CF=2CH=245在Rt△DCF中，由勾股定理得，CD=DF2-CF23.解析(1)证明：如图，连接OC.∵CD是☉O的切线，∴∠OCD=90°.∴∠OCB+∠BCD=90°.∵OF⊥BC，∴∠BEO=90°.∴∠BOE+∠OBE=90°.∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∴∠BCD=∠BOE.(2)如图，过B作BH⊥CD于H.∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°.∵sin∠CAB=BCAB=35，AB=10∵∠ACB=∠BEO=90°，∴AC∥OF.∴∠BOE=∠CAB.∵∠BCD=∠BOE，∴∠CAB=∠BCD.∴sin∠CAB=sin∠BCD=BHBC=35，∴BH=∵sinD=BHBD=OCOD，∴185BD=5故BD的长为9074.解析(1)证明：如图，连接OC.∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO.∵∠ECB=∠CAB，∴∠ECB=∠ACO.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠ACO+∠OCB=90°.∴∠ECB+∠OCB=90°，即OC⊥EC，又∵OC是☉O的半径，∴EC是☉O的切线.(2)∵CB平分∠ECD，∴∠BCD=∠ECB.∵∠BCD=∠BAD，∴∠ECB=∠BAD.∵∠ECB=∠CAB，∴∠BAD=∠CAB.∴BC=BD.∵AB是☉O的直径，∴AB⊥CD.在Rt△FCE中，∠FCE+∠E=90°.∵BE=BC，∴∠E=∠ECB.∴∠E=∠ECB=∠BCF=30°，在Rt△BCF中，BC=6，∠BCF=30°，∴CF=BC·cos∠BCF=6×32=33∵AB⊥CD，AB是☉O的直径，∴DF=CF=33.在Rt△ADF中，∠DAF=∠BCF=30°，∴AD=DFsin∠DAF=335.解析(1)证明：如图，连接OC.∵点C是BE的中点，∴CE=CB.∴∠DAC=∠BAC.∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD.∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是☉O的半径，∴DC是☉O的切线.(2)①如图，连接EB，OC，∵AB是☉O的直径，∴AE⊥BE，又∵AD⊥DF，∴EB∥DF，∴∠ABE=∠AFD.∴sin∠ABE=sin∠AFD=AEAB=1又∵AE=2，∴AB=6，∴☉O的半径为3.②在Rt△OCF中，sin∠AFD=OCOF=1又∵OC=3，∴OF=9，∴AF=OA+OF=3+9=12.在Rt△AFD中，sin∠AFD=ADAF=13，∴DE=AD-AE=4-2=2.6.证明(1)连接OD交AC于点H，如图.∵AD=CD，∴AD=CD.∴OD⊥AC.∴∠AHO=90°.∵∠ADM=∠DAC，∴AC∥MN.∴∠MDO=∠AHO=90°.∴OD⊥MN.又∵OD为☉O的半径，∴MN是☉O的切线.(2)连接BD，如图.∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°.∵∠ADM=∠DAC，∴AC∥MN.∴∠ACD=∠CDN，∠DNC=∠ACB=90°，∴∠DNC=∠ADB.∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD=∠CDN.∴△CDN∽△ABD.∴CNAD=CDAB.∵AD=CD，∴CNAD∴AD2=AB·CN.7.解析(1)证明：如图，作OH⊥FA于H，连接OE，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AD=12AB，∴∠CAD=∠ACD∴∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，∵∠FAC=12∠BDC∴∠FAC=∠CAB，即AC是∠FAB的平分线，∵O在AC上，☉O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是☉O的半径，∴OH=OE，即OH是☉O的半径，∴AF是☉O的切线.(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，sinB=ACAB=4∴设AC=4