专项01 圆性质中辅助线的添加

专项01圆性质中辅助线的添加方法一连半径，构造圆心角1.(2023山东淄博博山二模)如图，A，B，C是☉O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是°.

2.(2023山东泰安岱岳期末)如图，AD=BC，AC=1，∠D=30°.(1)求证：AB=CD；(2)求☉O的半径.方法二作(找)垂径，构造直角三角形3.(2023山东淄博张店一模改编)如图，△ABC内接于☉O，∠ABC=120°，AC=23，则☉O的半径的长为.

第3题图 第4题图4.(2022四川凉山州中考)如图，☉O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB=45，BD=5，则☉O的半径为方法三作直径所对圆周角，构造直角三角形5.(2023山东淄博周村一模)如图，线段AB是☉O的直径，C，D为☉O上两点，如果AB=6，AC=3，那么∠ADC的度数是()A.15° B.30° C.45° D.60°6.(2022山东泰安中考)如图，AB是☉O的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则☉O的半径为()A.23 B.32 C.25 D.57.如图，AB是☉O的直径，点C，D是☉O上的点，作点D关于弦BC的对称点D'，点D'恰好落在AB上，若sin∠ABC=35，AB=5，8.(2022湖南张家界中考)如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是半圆O的直径，点C是BD的中点，延长AD交BC的延长线于点E.(1)求证：CE=CD；(2)若AB=3，BC=3，求AD的长.方法四构造同弧所对的圆周角9.(2023四川成都中考)如图，以△ABC的边AC为直径作☉O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交☉O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE.(1)求证：AC=BC；(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长.方法五作(找)直径，转移角度10.如图，点A，B，C在☉O上，若AC=5，tanB=512，则☉O的半径为11.(2020四川凉山州中考)如图，☉O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别是a，b，c.(1)求证：asin∠BAC=bsin∠ABC(2)若∠BAC=60°，∠ACB=45°，BC=43，利用(1)的结论求AB的长和sin∠ABC的值.

专项01圆性质中辅助线的添加答案全解全析1.答案55解析连接OA(图略).∵∠C=35°，∴∠AOB=70°.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠ABO=180°−70°22.解析(1)证明：∵BC=AD，∴BC=AD.∴BC+AC=AD+AC，即AB=CD.∴AB=CD.(2)如图，连接OA，OC，则OA=OC.∵∠D=30°，∴∠AOC=2∠D=60°.∴△AOC是正三角形.∴OA=AC=1，即☉O的半径为1.3.答案2解析如图，在弦AC所对优弧上取一点D，连接OA，OC，DA，DC，作OH⊥AC于H.∴AH=12AC=12×23=3∴∠D=180°-∠B=180°-120°=60°.∴∠AOC=2∠D=120°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴cos∠OAH=AHAO=34.答案25解析连接OD(图略).∵AB是☉O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD.∴∠OHD=∠BHD=90°.∵cos∠CDB=DHBD=45，BD=5设OH=x，则OD=OB=x+3.在Rt△ODH中，由勾股定理得x2+42=(x+3)2，解得x=76.∴OB=OH+BH=76+3=5.B连接BC(图略).∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=6，AC=3，∴sin∠ABC=ACAB=1∴∠ABC=30°.∴∠ADC=∠ABC=30°，故选B.6.D连接CB(图略).∵∠ACD=∠CAB，∴AD=BC.∴AD=BC=2.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中，BC=2，AC=4，∴AB=AC2+BC2∴☉O的半径为5.故选D.7.解析如图，连接CA，CD，CD'，过点C作CE⊥AB，垂足为E.∵点D关于弦BC的对称点为D'，∴CD'=CD，BD'=BD，∠D'BC=∠DBC.∴AC=CD.∴AC=CD=CD'.∵CE⊥AB，∴D'E=AE.∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠ACE+∠ECB=90°.∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°.∴∠ABC+∠ECB=90°.∴∠ACE=∠ABC.∴sin∠ACE=sin∠ABC=35在Rt△ABC中，AB=5，sin∠ABC=ACAB=35在Rt△AEC中，sin∠ACE=AEAC=35，∴AE=∴BD'=AB-AD'=AB-2AE=5-2×95=75.∴BD=8.解析(1)证明：如图，连接AC.∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=∠ACE=90°.∵点C是BD的中点，∴CD=CB，∴∠CAE=∠CAB，CD=CB.∵AC=AC，∴△ACE≌△ACB(ASA).∴CE=CB.∴CE=CD.(2)∵△ACE≌△ACB，AB=3，BC=3，∴AE=AB=3，CE=BC=3.∴BE=23.∵四边形ABCD内接于半圆O，∴∠CDE=∠ABE.∵∠E=∠E，∴△EDC∽△EBA.∴DEBE=CDAB，即DE23∴AD=AE-DE=1.9.解析(1)证明：∵∠ADE=∠ACE，∠ADE=∠B，∴∠B=∠ACE.∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE.∴∠B=∠BAC，∴AC=BC.(2)∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ABD中，tanB=ADBD=2，∵CD=3，∴AC=BC=BD+CD=BD+3.∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∴AD2+CD2=AC2，∴(2BD)2+32=(BD+3)2，解得BD=2或BD=0(舍去).∴AD=2BD=4，AB=AD2+BD2=如图，连接AE，∵∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB=DEBC，即425=∴AB和DE的长均为25.10.答案6.5解析如图，过点A作直径AD，连接DC，则∠ACD=90°.∵∠D=∠B，tanB=512∴tanD=512∵tanD=ACCD=512，AC=5∴AD=AC11.解析(1)证明：如图，作直径BE，连接CE，则∠BCE=90°，∠BEC=∠BAC.∴sin∠BAC=sin∠BEC=BCBE=a2R同理可得，bsin∠ABC=2R，∴asin∠BAC=bsin∠