寒假作业13 圆中重要模型之辅助圆模型（17道经典题型+3道中考真题）

完成时间：________月________日天气：寒假作业13圆中重要模型之辅助圆模型积累运用辅助圆（隐圆）是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中的常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等．辅助圆（隐圆）常见的有以下四种形式，动点定长、定边对直角、定边对定角、四点共圆，上述四种动态问题的轨迹是圆．题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分．本课时就辅助圆模型进行专项训练，帮助同学们熟练掌握．1、动点定长模型（圆的定义）如图1，若P为动点，但AB=AC=AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB长为半径．圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．图1图22、定边对直角模型（直角对直径）如图2，固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A，B，C三点共圆，AB为直径．寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．3、定边对定角模型（定弦定角模型）如图3，固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A，B，C，P四点共圆．图3图4根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等．寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）如图4，若平面上A，B，C，D四个点满足，则A，B，C，D四点共圆．寻找隐圆技巧：（1）四边形对角互补；（2）四边形外角等于内对角．基础过关练1．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD，则下面结论不一定成立的是（

）A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°2．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68° B．88° C．90° D．112°3．如图，在四边形中，，若，则的值为（

）A． B． C． D．4．如图，已知在中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C． D．5．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．7．如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为____________．8．如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，连接DE，CE，CD，那么______________．9．如图，在中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．能力提升练10．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（

）A． B． C． D．12．如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．的最小值为13．如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为____________；若，则的值为____________．14．如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．拓展培优练16．定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，∠E的度数是____________；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连接CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．17．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________．（2）【问题解决】如图2，在四边形中，，求的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样A，B，C，D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在中，，是边上的高，且，求的长．中考真题练18．（2023·淮安·中考真题）如图，在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是__________________．19．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为______________________，的最大值为______________________．20．（2023·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是________________．

寒假作业13圆中重要模型之辅助圆模型参考答案基础过关练1．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD，则下面结论不一定成立的是（

）A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【解析】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：OA=OB=OC=OD，即点A，B，C，D都在圆O上．A．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知，故A不符合题意．B．因为，所以根据圆周角定理可知，故B不符合题意．C．当时，，所以此时AC不平分，故C符合题意．D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选C．2．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68° B．88° C．90° D．112°【答案】B【解析】如图，∵AB=AC=AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，故选B.3．如图，在四边形中，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，∵，∴点A，B，C，D四点共圆，∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故选D．4．如图，已知在中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【解析】如图，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴当有最大值时，有最大值，∵，∴点A，C，B，P四点共圆．若有最大值，则应为直径，∵，∴是圆的直径，∴，∴的最大值为，故选C．5．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【解析】过线段MN的中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，因为OQ为MN的垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，所以此时最大，等于圆O的直径．∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，∴OM=，∴，故选C．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．【答案】【解析】由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长为半径的圆，如图所示，由图可知，当点B，D，F共线，且F在B，D之间时，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案为．7．如图，在中，，，，是平面内一动点，且，取的中点，连接，则线段的最大值为____________．【答案】【解析】如图所示，取的中点O，∵，∴，∵E是的中点，，∴，∵，∴点P在以为直径的圆上运动，也即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，∴当在线段上时，有最大值．连接交于D，则点P运动到点D时有最大值．由勾股定理得，∴，∴的最大值为，故答案为：．8．如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，连接DE，CE，CD，那么___________________．【答案】13【解析】∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB的中点，∴AE=EB=EC=ED，∴A，C，B，D在以E为圆心的圆上，∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，∴∠ECB=45°，∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案为13．9．如图，在中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．【答案】【解析】如图所示，以为底边，在的下方作等腰三角形，则，∵，∴点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大．∵，，∴，∴的最大值为：，故答案为．能力提升练10．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆（如图）.∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∴点M在以O点为圆心，以AO长为半径的圆上，连接OB交圆O于点N，∵点B为圆O外一点，∴当直线BM过圆心O时，BM最短，∵，，∴，∴，∴，故选D．11．如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵在中，，，，，∴A，B，C，P四点共圆，AB为圆的直径，AB=，∵，∴∴△ABC∽△PQC，∴，，即，∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值，∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为，故选B．12．如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．的最小值为【答案】D【解析】∵四边形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等边三角形，∴DF=CE，∠ABF=∠BCE，故A项答案正确．∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜-（∠GCB+∠GBC）=180゜-60゜=120゜，故B项答案正确．∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C项答案正确．∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如图，∵△ABC是等边三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D项错误，故选D.13．如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为____________；若，则的值为____________．【答案】；【解析】∵，为的中点，∴，又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在与中，,，∴，∴.∵，∴四点共圆，如图：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.故答案为；.14．如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．【答案】+1【解析】如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO中点K为圆心，以AD长为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA．在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故答案为+1．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．【答案】【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，如图所示：连接OA，OC，作OD⊥AC于D，则AD＝CDAC＝1，∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的长为.故答案为π．拓展培优练16．定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，∠E的度数是____________；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连接CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．【解析】（1）①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案为：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，如图，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，∵四边形FDBC内接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BDC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．17．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________．（2）【问题解决】如图2，在四边形中，，求的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样A，B，C，D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在中，，是边上的高，且，求的长．【解析】（1）如图1，∵，∴以点A为圆心，点B，C，D必在上，∵是的圆心角，而是圆周角，∴，