寒假作业12 反比例函数的基本模型（16道经典题型+6道中考真题）

完成时间：________月________日天气：寒假作业12反比例函数的基本模型积累运用近年来，反比例函数作为中考和模拟考的压轴选填题出现较为频繁，个别省市更是作为解答题的压轴来考查。仔细研究中考真题，不难发现一些常见的几何模型，今天我们就常见的几种与反比例函数结合的几何模型（定值矩形与定值三角形模型、平行线之间的定值三角形模型、“喇叭三角形”（三角转梯形）、中点模型、比值模型、等角模型、等分面积模型等）给大家作一个专项训练，方便同学们熟练掌握。基础过关练1．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数上的一点，过点A向轴作垂线交轴于点，连接，若的面积为4，则的值为（

）A．4 B． C．8 D．2．如图，的直角顶点与坐标原点重合，，若点在反比例函数的图象上，则过点的反比例函数的比例系数为（

）A．2 B．4 C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（）．A．6 B．12 C．24 D．364．如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（）A．3 B．6 C． D．5．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形的面积为S，那么（）A． B． C． D．6．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为______________．7．双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则____________．8．如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的图象上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为________________．9．如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB的面积为6，则k的值为__________．能力提升练10．如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（

）A． B． C． D．11．如图，双曲线经过斜边上的点，与直角边相交于点，已知，的面积为5，则的值是（）A．12 B．24 C．5 D．1012．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．413．如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和，设点在图上．垂直轴于点，交图象于点，垂直轴于点，交图象于点，连接、，下列结论：①四边形的面积为4；②的面积为3；③；④．其中一定正确的有______________个．14．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，若，则的值为_____________．15．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，，，则______________.拓展培优练16．阅读与思考：阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．探究反比例函数图象中的等线段：我们知道，若反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，，则根据反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称，不难发现，那么如果反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，是否也存在相等线段？下面分别从反比例函数图象与一次函数图象的交点在同一象限和不同象限两种情况进行分析：情况：交点在同一象限（以交点在第一象限为例）．如图，过点作轴于点，作轴于点，，交于点，连接．设点，，则，，，，，，．又，∽（依据），，．又，四边形是平行四边形，．同理可得，从而；情况：交点在不同象限（以交点在一、三象限为例）．如图，任务：(1)上述证明过程中的依据是：__________________________；(2)请参照情况的分析过程，写出情况的分析过程；(3)“从一般到特殊”的思想拓展研究数学中的一些问题，是数学中经常使用的解题方法，结合以上信息，猜想：当反比例函数的图象与一次函数的图象只有个交点时，设交点为，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，试着找出一条结论：_______________________________．中考真题练17．（2023年江苏省淮安市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（

）A． B． C． D．18．（2023年江苏省宿迁市中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）A． B． C． D．119．（2023年湖南省张家界市中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．520．（2023年福建省中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（）

A． B． C． D．321．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为______________；若的面积为，则______________．22．（2023年浙江省宁波市中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为____________________，a的值为____________________．

寒假作业12反比例函数的基本模型参考答案基础过关练1．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数上的一点，过点A向轴作垂线交轴于点，连接，若的面积为4，则的值为（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】设，由题意，，，故选D．2．如图，的直角顶点与坐标原点重合，，若点在反比例函数的图象上，则过点的反比例函数的比例系数为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图：，，，，又，，，，，点在反比例函数的图象上，，，经过点的反比例函数图象在第二象限，过点的反比例函数的比例系数．故选．3．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（）．A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【解析】如图，连接，，设的高为h，∵与x轴相切于点B，为的直径，∴，,∴、的高为，∴,∵，∴，∴,∵，且反比例函数图像在一象限，∴．故选C．4．如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（）A．3 B．6 C． D．【答案】A【解析】如图，连接、，设交轴于，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，轴，点、在反比例函数和在轴上方的图象上，，，，轴,与“同底等高”，，故选A．5．如图，A、B是函数的图象上的点，且A、B关于原点O对称，轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形的面积为S，那么（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵A，B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，∴若假设A点坐标为，则B点坐标为，，，故四边形的面积S是．故选D．6．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为______________．【答案】【解析】根据反比例函数的对称性可知，∵是面积为5，∴的面积是2.5，∴，∵双曲线位于二、四象限，∴k＝．故答案为：.7．双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则____________．【答案】5【解析】∵，∴，∴，∵反比例函数位于第一象限，∴，∴.故答案为5．8．如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的图象上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为________________．【答案】【解析】设点A的坐标是，则，把代入得到，∵，∴，∴，当时，，即，∵轴，轴，∴，∵，∴，即，∴，∴，解得，故答案为.9．如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB的面积为6，则k的值为__________．【答案】4【解析】分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，如图.点为的中点，为的中位线，，，，，，，，，.故答案为.能力提升练10．如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】①，∽，，，而，，，，，，，，，②设，，由图可知：，，，，，，，即，解得，．故选C．11．如图，双曲线经过斜边上的点，与直角边相交于点，已知，的面积为5，则的值是（）A．12 B．24 C．5 D．10【答案】A【解析】如图，过点作轴于点，则，∴又∵．设点坐标为，则．∴，．∴点坐标为∴点的横坐标为，设点的纵坐标为，∵点与点都在图象上，．∴，∴点坐标为()．∵的面积为，∴的面积为．∴的面积为．∴，即．∴．∴．故选A.12．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，，∴，结论①正确；∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴，∴，∴，即四边形的面积不会发生变化，结论②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，，与的关系无法确定，结论③错误；如图，连接，点是的中点，，，，，即，，∴点一定是的中点，结论④正确；综上，正确的结论有3个，故选C．13．如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和，设点在图上．垂直轴于点，交图象于点，垂直轴于点，交图象于点，连接、，下列结论：①四边形的面积为4；②的面积为3；③；④．其中一定正确的有______________个．【答案】2【解析】垂直轴于点，垂直轴于点，，四边形是矩形，点在图上，，，点在图象上，，，，故①正确，符合题意；，故②错误，不符合题意；，，，故③错误，不符合题意；，，，，，，，，，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有：①④，共2个，故答案为2．14．如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，若，则的值为______________________．【答案】【解析】已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，把x=0代入，y=2；y=0代入，x=2；∴B、C的坐标分别是、，则，设点A的坐标是，过点A作轴于E点，∵AE∥OB，∴，∴，函数的图象与函数的图象都关于直线对称，由对称性可知，又∵，∴，∴，解得，∴点A的坐标是，∵点A在双曲线上，∴，故答案为-3．15．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，，，则______________.【答案】10【解析】如图，分别延长CA，DB交于点E．轴于点C，轴于点D，，点A的横坐标与点B的纵坐标相等．设，则，，点A的坐标为．点A，B是反比例函数图象上的两点，，解得：，点B的坐标为．，，，，，．拓展培优练16．阅读与思考：阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．探究反比例函数图象中的等线段：我们知道，若反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，，则根据反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称，不难发现，那么如果反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，是否也存在相等线段？下面分别从反比例函数图象与一次函数图象的交点在同一象限和不同象限两种情况进行分析：情况：交点在同一象限（以交点在第一象限为例）．如图，过点作轴于点，作轴于点，，交于点，连接．设点，，则，，，，，，．又，∽（依据），，．又，四边形是平行四边形，．同理可得，从而；情况：交点在不同象限（以交点在一、三象限为例）．如图，任务：(1)上述证明过程中的依据是：______；(2)请参照情况的分析过程，写出情况的分析过程；(3)“从一般到特殊”的思想拓展研究数学中的一些问题，是数学中经常使用的解题方法，结合以上信息，猜想：当反比例函数的图象与一次函数的图象只有个交点时，设交点为，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，试着找出一条结论：______．【解析】（1）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（2）过点作轴于点，作轴于点，，的延长线交于点，连接．设点，，则，，，，，，．又，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，，．又，四边形是平行四边形，．同理可得，；（3）猜想：当反比例函数的图象与一次函数的图象只有个交点时，设交点为，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，则．故答案为：．中考真题练17．（2023年江苏省淮安市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，过点作轴于点，则.∴，∴，∵,，∴，∴，解得，∵点在上，∴，解得，∴直线的解析式为，当时，，即，又与反比例函数在第一象限内的图象交于点，∴.故选C．18．（2023年江苏省宿迁市中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是矩形，，直线与轴交于点，当时，，即，与双曲线分别相交于点，联立，即，则，由，解得，，即，解得，故选A．19．（2023年湖南省张家界市中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（

）A．2