27.2.3 切线 同步练习

第27章圆27.2与圆有关的位置关系27.2.3切线基础过关全练知识点1切线的判定与性质1.(2023重庆中考B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连结AC,若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为()A.30° B.40° C.50° D.60°2.(2023河北石家庄晋州期末)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是()A.∠O+∠P=90° B.∠O+∠P=∠OMPC.OM2+PM2=OP2 D.点N是OP的中点3.(2023海南临高新盈中学模拟)如图,在☉O中,AB是直径,弦CD垂直AB于点P,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E.若∠ABC=63°,则∠E等于°.

4.(2023湖南衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为.5.如图,AD是☉O的直径,AB是弦,∠A+∠C=90°,CD∥AB,求证:BC是☉O的切线.6.(2023北京四中期中)下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知:☉O和☉O外一点P.求作:过点P的☉O的切线.作法:如图,①连结OP;②分别以点O和点P为圆心,大于12③作直线MN,交OP于点C;④以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交☉O于A,B两点;⑤作直线PA,PB.直线PA、PB即为所求作☉O的切线.(1)请根据上述作法完成尺规作图;(2)连结OA,OB,可证∠OAP=∠OBP=90°,理由是;

(3)直线PA,PB是☉O的切线,依据是.

知识点2切线长的定义及定理7.(2023甘肃天水清水期末)如图,PA,PB切圆O于点A、B,EF切圆O于点C,交PA,PB于E、F,PA=10,则△PEF的周长为.

8.(2023山东滨州中考)如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,且∠APB=56°,若点C是☉O上异于点A,B的一点,则∠ACB的大小为.9.如图,PA、PB分别与☉O相切于点A、B,☉O上有一点C,已知点A、B、C三等分☉O,∠P=60°,求证:四边形PACB是菱形.知识点3三角形的内切圆10.(2023山东菏泽单县模拟)如图,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于()A.65° B.70° C.75° D.80°11.(2023陕西师范大学附中月考)如图,△ABC的内心为I,连结AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是()A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.不确定12.(2023福建厦门集美模拟)如图,三角形纸片ABC的周长为24cm,☉O是△ABC的内切圆,华华用剪刀在☉O的左侧沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一个周长为8cm的△AMN,那么BC的长是cm.13.(2023福建福州鼓楼三牧中学期中)如图,已知△ABC,∠B=40°.(1)在图中,用尺规作出△ABC的内切圆☉O,并标出☉O与边AB、BC、AC的切点D、E、F(保留痕迹,不必写出作法);(2)连结EF、DF,求∠EFD的度数.能力提升全练14.(2023四川眉山中考)如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为()A.25° B.35° C.40° D.45°15.(2022湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切),如图所示.问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,☉O的半径为2丈,则BN的长度为丈.

16.(2023江苏徐州中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD,连结AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB=°.

17.(2023湖北天门中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=°.

18.(2023河南鹤壁淇县模拟)如图,王奶奶有一块三角形的布料,∠ABC=90°,她要裁一个圆片,已知AB=60cm,BC=80cm,为了充分地利用这块布料,使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该怎样裁剪?这个圆的直径是多少?19.(2023四川凉山州中考)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)若PA=4,PD=2,求☉O的半径和DE的长.素养探究全练20.(2023四川宜宾中考)如图,以AB为直径的☉O上有两点E、F,BE=EF,过点E作直线CD⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=95,求EN的长.

第27章圆27.2与圆有关的位置关系27.2.3切线答案全解全析基础过关全练1.B如图,连结OC,∵直线CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°,∵∠ACD=50°,∴∠ACO=90°-50°=40°,∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO=40°.2.DA.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=90°,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;B.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=∠OMP,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;C.∵OM2+PM2=OP2,∴△OMP是直角三角形,且∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;D.点N是OP的中点不能得出∠OMP=90°,即不能判定PM是☉O的切线.3.36解析如图,连结OD,∵AB⊥CD,∴∠CPB=90°.∵∠ABC=63°,∴∠PCB=90°-63°=27°,由圆周角定理得∠EOD=2∠PCB=54°,∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-54°=36°.4.24解析如图,设☉C与AB所在的直线相切,切点为点D,连结CD,∵CD是☉C的半径,AB与☉C相切于点D,∴AB⊥CD,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=AC2+BC2=82+62=10,∵S△ACB5.证明如图,连结OB,∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∵CD∥AB,∴∠C+∠ABC=180°.∵∠A+∠C=90°,∴90°-∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC-∠A=90°,∴∠ABC-∠ABO=90°,即∠OBC=90°.∵OB是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.6.解析(1)如图,PA、PB为所求作.(2)直径所对的圆周角为直角.(3)过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线.7.20解析∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB=10,∵直线EF与☉O相切于点C,∴EA=EC,FC=FB,∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=2×10=20.8.62°或118°解析本题易因考虑不周致错.当点C在优弧AB上时,如图,连结CA,BC,∵PA、PB切☉O于点A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB=360°,∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°,由圆周角定理知∠ACB=129.证明(证法1:四条边相等的四边形是菱形)如图1,连结AB,∵点A、B、C三等分☉O,∴AC=CB=BA,∴AC=BC=AB.∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,∴PA=AB=PB,∴PA=AC=CB=BP,∴四边形PACB是菱形.(证法2:一组邻边相等的平行四边形是菱形)如图2,连结OA、OB、OC,∵点A、B、C三等分☉O,∴AC=CB=BA,∴∠BOC=13×360°=120°.∵OB=OC,∴∠OBC=1(180°-120°)=30°.∵PB切☉O于点B,∴∠PBO=90°,∴∠PBC=90°+30°=120°,∴∠P+∠PBC=60°+120°=180°,∴PA∥BC.同理PB∥AC,∴四边形PACB是平行四边形.∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB,∴四边形PACB是菱形.10.B∵∠AIB=125°,∴∠IAB+∠IBA=55°,∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=12∠CAB,∠IBA=111.A题图中的圆是外接圆,而点I是△ABC的内心,即内切圆的圆心,容易弄混内心和外心的性质导致错误.如图,连结BI,∵△ABC的内心为I,∴∠1=∠2,∠5=∠6,∵∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴∠4=∠2+∠6=∠3+∠5,即∠4=∠DBI,∴DI=DB.12.8解析如图,设D,H,E,G分别是直线AB,MN,AC,BC与☉O的切点.∵☉O是△ABC的内切圆,∴BD=BG,CE=CG,MH=ME,NH=ND,∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MH+NH+AN=AM+ME+AN+ND=AE+AD=8cm.∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+EC+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=24cm,∴BC=8cm.13.解析(1)如图,☉O即为所求作.(2)连结OD,如图,∵☉O与边AB,BC,AC的切点分别为D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠ODB=∠OEB=90°,∴∠DOE=180°-∠ABC=180°-40°=140°,∴∠EFD=12能力提升全练14.C如图,连结OB,∵AB切☉O于B,∴半径OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°,∴∠O=2∠D=50°,∴∠A=90°-∠O=40°.15.(8-22)解析如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连结OC,则OC⊥AC,∵四边形是正方形,AB是对角线,∴∠OAC=45°,∴OA=2OC=22(丈),∴BN=AB-OA-ON=10-22-2=(8-22)丈.16.66解析如图,连结OC,OD,∵BF是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴OB⊥BF,∴∠ABF=90°,∵∠AFB=68°,∴∠BAF=90°-∠AFB=22°,∴∠BOD=2∠BAF=44°,∵AC=2BD,∴∠COA=2∠BOD=88°,∴∠CDA=1217.35解析如图,连结OD,OE,OB,OB交ED于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°,∵点O为△ABC内切圆的圆心,∴∠OAB+∠OBA=55°,∴∠AOB=125°,∵AB,BC与☉O分别切于点D、E,∴BD=BE,∵OE=OD,∴OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°,∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.18.解析为使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该剪出这个三角形布料的内切圆,如图所示,设点O为△ABC内切圆的圆心,rcm为内切圆的半径,连结OA、OB、OC,∵AB=60cm,BC=80cm,∠ABC=90°,∴AC=AB2+BC2S△OAB+S△OBC+S△OAC,∴12AB·BC=12AB·r+12BC·r+12AC·r,∴12×60×80=119.解析(1)证明:如图1,连结OA,∵AB⊥CD,∴∠AFD=90°,∴∠FAD+∠ADF=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADF,∴∠FAD+∠OAD=90°,∵∠EAD=∠FAD,∴∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,∴OA⊥AE,∵OA是☉O的半径,∴AE是☉O的切线.(2)如图2,连结AC,AO,∵CD为☉O的直径,∴∠CAD=90°,∴∠C+∠ADC=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∴∠C=∠FAD,∵∠EAD=∠FAD,∴∠C=∠EAD,∵∠P=∠P,∴△ADP∽△CAP,∴APCP=PD∵PA=4,PD=2,∴4CP=2∴☉O的半径为3,∴OA=3=OD,∴OP=OD+PD=5,∵∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P,∴△OAP∽△DEP,∴DEOA=PDOP,即DE3=25,∴DE=方法解读相似三角形中的A字模型又称为金字塔模型,分为两种:一种是上下平行,另一种是上下不平行,如下图所示.素养探究全练20.解析(1)证明:连结OE,如图,∵BE=EF,∴∠FAE=∠EAB,∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAB,∴∠FAE=∠AEO,∴AF∥OE,∵AF⊥CD,∴OE⊥CD,∵OE是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)证明:由(1)知CD是☉O的切线,∵AB为☉O的直径,∴∠CEO=∠AEB=90°,∴∠AEO=∠