专项27-相似三角形的判定-重难点题型

相似三角形的判定-重难点题型【知识点1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．【题型1相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．【变式1-1】（越秀区校级二模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．【变式1-2】（宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．【变式1-3】（淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．【题型2相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20【变式2-1】（南召县期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，ADAB=A′D′A′B′．当CDC′D′=ACA′C′=【变式2-2】（肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由．【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．【题型3相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．【变式3-1】（肇州县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．【变式3-2】（朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．【变式3-3】（蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．【题型4相似三角形的判定（多结论问题）】【例4】（（阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-1】（淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③【变式4-2】（南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（）①BC＝4；②AEEC=12；③S△ADES△ABCA．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【变式4-3】（天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③ADAE=ACABA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【题型5相似三角形的判定（网格问题）】【例5】（芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【变式5-1】（龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【变式5-2】（鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【变式5-3】（成华区期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是，符合条件的格点三角形共有个．【题型6相似三角形的判定（动点问题）】【例6】（龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的25（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？【变式6-1】（濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．【变式6-2】（渭滨区期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式6-3】（舒城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

相似三角形的判定-重难点题型（解析版）【知识点1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．【题型1相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似．【解答过程】证明：∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．【变式1-1】（越秀区校级二模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．【解题思路】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．【解答过程】证明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．【变式1-2】（宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．【解题思路】利用“两角法”证得结论．【解答过程】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°．∴∠ACB+∠ACD＝90°．又∵AC⊥DE，∴∠CDE+∠ACD＝90°．∴∠ACB＝∠CDE．∴△ABC∽△ECD．【变式1-3】（淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．【题型2相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20【解题思路】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵ABC′A′∴△ABC∽△A′B′C′（2）∵AB∴△ABC∽△A′B′C′．【变式2-1】（南召县期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，ADAB=A′D′A′B′．当CDC′D′=ACA′C′=【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．【解答过程】解：相似，理由如下：∵ADAB∴ADA′D′又∵CDC′D′∴CDC′D′∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，又∵ACA′C′∴△ABC∽△A′B′C′．【变式2-2】（肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由．【解题思路】设小正方形的边长为1，分别求得两个三角形各边的长，再根据各边是否对应成比例来判定两三角形是否相似．【解答过程】解：结论：相似．理由：设正方形的边长为1，则AC=2，CD＝1，AD=5，EC＝2，EA∵AC∴△ACD∽△ECA．【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；（3）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可．【解答过程】（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，AC2＝22+12＝5，BC2＝32+42＝25，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形；（2）解：相似，理由是：由勾股定理得：DF=22+22=22，DE=42由（1）知：AB＝25，AC=5，BC所以DFAC所以△△ABC和△DEF相似；（3）解：和△ABC相似的三角形是△P2P4P5，理由是：∵由勾股定理得：P5P2=12+32=10，P2P4=1又∵AB＝25，AC=5，BC∴ACP∴△ABC∽△P4P5P2．【题型3相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．【解题思路】根据相似三角形的判定得出△ABE与△ACD相似，利用相似三角形的性质得出∠B＝∠C，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．【解答过程】证明：∵AD•AB＝AE•AC，∴ADAE∵∠A＝∠A，∴△ABE∽∠ACD，∴∠B＝∠C，∵DF∥AC，∴∠C＝∠ODF，∴∠B＝∠ODF，∵∠DOF＝∠BOD，∴△DOF∽△DOB【变式3-1】（肇州县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．【解答过程】证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．∴AE＝5，AD＝6，∴ACAD=3∴ACAD∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．【变式3-2】（朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．【解题思路】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【解答过程】证明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC2＝CD•BC，∴ACCD∴△ABC∽△DAC．【变式3-3】（蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．【解题思路】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．【解答过程】证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴EFBF∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．【题型4相似三角形的判定（多结论问题）】【例4】（（阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，则HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；故选：C．【变式4-1】（淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③【解题思路】根据正方形的性质求出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，再逐个判断即可．【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠APB＝∠EPC，∴△ABP和△ECP相似，故①正确；∵AB•PC＝EC•BP，∴ABEC∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△ECP，故②正确，∵P为BC的中点，E为DC的中点，∴BP＝CP=12BC，CE=∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∴BP＝CP＝CE，∴ABBP=2即ABBP即△ABP和△ECP不相似，故③错误；设PB＝2x，BC＝3x，则PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CE=12BC=∴ABBP=3x即ABBP∴ABCE∵∠B＝∠C＝90°，即△ABP和△ECP相似，故④正确；所以正确的为①②④，故选：C．【变式4-2】（南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（）①BC＝4；②AEEC=12；③S△ADES△ABCA．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【解题思路】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【解答过程】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=AEAC=∴AEEC∵DE＝2，∴BC＝6，∴②④正确，故选：D．【变式4-3】（天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③ADAE=ACABA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解题思路】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答过程】解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵ADAE∴AD∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．【题型5相似三角形的判定（网格问题）】【例5】（芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【解题思路】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答过程】解：已知给出的三角形的各边分别为2、2、10、只有选项A的各边为1、2、5与它的各边对应成比例．故选：A．【变式5-1】（龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解题思路】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答过程】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：5，第二个三角形的三边的三边之比为：2：5：5，第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：5，第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：2，只有第一和第三个三角形的三边成比例，所以只有第一和第三个三角形相似，故选：A．【变式5-2】（鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【解题思路】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答过程】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M或N时，其各边是6、213，210．与△ABC各边对应成比例，故选：C．【变式5-3】（成华区期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是10，符合条件的格点三角形共有16个．【解题思路】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，进而解答即可．【解答过程】解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB=5，AC：BC∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为62，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=10，EF＝210，DF＝52∵101∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积为：10×210÷2＝10，△Rt△ABC的三边为1：2：5的直角三角形，∵相似，直角边为1：2，∴直角边最长应为10与210，如图中4个，每旋转90°又有4个，∴共4×4＝16（个）．故答案为：10；16．【题型6相似三角形的判定（动点问题）】【例6】（龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的25（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？【解题思路】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的25（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．【解答过程】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的2512×2x（8﹣x）=1解得x1＝x2＝4．答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的25（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．∵∠C＝∠C，∴可分为两种情况：①MCBC=NC解得t=16②MCAC=NC解得t=40答：经过167或4013秒，△MCN与△【变式6-1】（濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动32或187s时，由D，A，E三点连成的三角形与△【解题思路】分两种情形①当AEAB=ADAC时，【解答过程】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当AEAB即2t6=6−t9②当AEAC即2t9=6−t6综上所述：当t=32或187时，△ADE【变式6-2】（渭滨区期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果