第34讲 机械振动（讲义）（解析版）

学而优教有方第34讲机械振动目录复习目标网络构建考点一简谐运动的基本规律【夯基·必备基础知识梳理】知识点1简谐运动的基础知识知识点2简谐运动的五个特征【提升·必考题型归纳】考向1简谐运动中各物理量的分析考向2简谐运动的特征应用考点二简谐运动的公式和图像【夯基·必备基础知识梳理】知识点1对简谐运动图像的认识知识点2由简谐运动图像可获取的信息【提升·必考题型归纳】考向1从振动图像获取信息考向2根据条件写出振动方程考点三简谐运动的两类模型【夯基·必备基础知识梳理】知识点弹簧振子模型和单摆模型【提升·必考题型归纳】考向1弹簧振子模型考向2单摆模型考点四受迫振动和共振【夯基·必备基础知识梳理】知识点1简谐运动、受迫振动和共振的比较知识点2对共振的理解【提升·必考题型归纳】考向1受迫振动和共振规律考向2实际生活中的受迫振动和共振真题感悟理解和掌握简谐运动的基本规律和图像。能够利用简谐运动的基本规律处理有关弹簧振子和单摆模型的有关问题。理解和掌握受迫振动和共振。考点要求考题统计考情分析（1）简谐运动（2）单摆（3）受迫振动和共振2023年山东卷第13题2022年海南卷第4题2022年湖南卷第17题高考对机械振动的考查较为频繁，题目以选择题形式出现的几率较高，难度上大多不大。这部分内容也会与机械波结合考查。考点一简谐运动的基本规律知识点1简谐运动的基础知识(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。(2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。(4)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。②方向：总是指向平衡位置。③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。知识点2简谐运动的五个特征1.简谐运动的特征位移特征受力特征回复力：F=-kx；F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反。能量特征系统的动能和势能相互转化,机械能守恒对称性特征质点经过关于平衡位置O对称的两点时,速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等。周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq\f(T,2)注意：（1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是4A，半个周期内路程一定是2A，四分之一周期内的路程不一定是A。（2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹簧的劲度系数k），与振幅无关。考向1简谐运动中各物理量的分析1．有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是（）A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是【答案】B【详解】AB．两个弹簧振子1和2的振幅分别为3a和9a，即振幅不同，频率相同，均为A错误，B正确；CD．从公式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，CD错误。故选B。2．如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6cm，小球完成30次全振动所用时间为60s，则（）A．振动周期是2s，振幅是6cmB．振动频率是2HzC．小球完成一次全振动通过的路程是12cmD．小球过O点时开始计时，3s内通过的路程为24cm【答案】C【详解】A．由题意可知；，A错误；B．频率解得，B错误；C．小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即，C正确；D．小球在3s内通过的路程为，D错误。故选C。考向2简谐运动的特征应用3．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法中正确的是（）A．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于T的整数倍B．若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则一定等于的整数倍C．若，则在t时刻和时刻振子运动加速度一定相等D．若，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等【答案】C【详解】A．t时刻和时刻振子位移大小相等，方向相同，表示质点经过同一位置，经过的时间不一定等于T的整数倍，A错误；B．若t时刻和时刻振子位移大小相等，方向相反，表示经过与平衡位置对称的位置，经过的时间不一定等于的整数倍，B错误；C．若，则在t时刻和时刻振子的位移一定相同，故加速度一定相同，C正确；D．若，则在t时刻和时刻振子的位移大小相等，方向相反，但弹簧长度不相等，D错误。故选C。4．一个弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置开始计时，经过时，振子第一次到达点，又经过第二次经过点，则该弹簧振子的振动周期可能（）A． B． C． D．【答案】BD【详解】若振子从平衡位置点开始向右振动，作出示意图如图1所示，由对称性可知，从P到右侧最大位移处的时间为1s，故弹簧振子的振动周期为若振子从平衡位置点开始向左振动，作出示意图如图2所示，设从到的时间为，则有解得则周期为故选BD。考点二简谐运动的公式和图像知识点1对简谐运动图像的认识1．简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。(2)运动学表达式：x＝A_sin_(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢。2．对简谐运动图像的认识(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。知识点2由简谐运动图像可获取的信息1.判定振动的振幅A和周期T。(如图所示)2.判定振动物体在某一时刻的位移。3.判定某时刻质点的振动方向：①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；②下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。4.判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。eq\x(\a\al(从图像读,取x大小,及方向))eq\o(→,\s\up7(F＝－kx))eq\x(\a\al(F的大小,及方向))eq\o(→,\s\up7(F＝ma))eq\x(\a\al(a的大小,及方向))5.比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。考向1从振动图像获取信息1．如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（）A．在t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大B．在t=0.1s与t=0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t=0到t=0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D．在t=0.6s时，弹簧振子有最小的位移【答案】C【详解】A．在t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大，加速度为负向最大，故A错误；B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，速度大小相同，但是方向相反，故B错误；C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增大，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动，故C正确；D．在t＝0.6s时，弹簧振子的位移为负方向最大，故D错误。故选C。2．如图1所示，水平地面上固定一轻质弹簧，弹簧竖直放置，其上端连接一轻质薄板。时刻，一可视为质点的物块从弹簧正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（图像）如图2所示，其中时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，以竖直向下为正方向，则（

）A．，物块的加速度逐渐增大 B．后物块做简谐运动C．，物块的加速度先减小后增大 D．，物块的加速度先增大后减小【答案】BC【详解】A．由题知，物块做自由落体运动，加速度恒定，A错误；B．从图像看后的图像为正弦函数，物块做简谐运动，B正确；CD．，物块受到的弹簧弹力一直增大，弹力先小于重力后大于重力，由牛顿第二定律，物块的加速度先减小后增大，C正确，D错误。故选BC。考向2根据条件写出振动方程3．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（）A．末和末，振子的速度方向相同B．振子做简谐运动的表达式为C．时，振子的位移为D．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相同【答案】BD【详解】B．由图可知，弹簧振子的振幅为，周期为，则振子做简谐运动的表达式为（cm），B正确；A．将代入振子做简谐运动的表达式可得，0.3s末弹簧振子的位移为将代入振子做简谐运动的表达式可得，0.5s末弹簧振子的位移为即末和末，弹簧振子的位移相同，弹簧振子位于同一位置，则加速度相同，速度方向相反，A错误；C．将代入振子做简谐运动的表达式可得，0.2s末弹簧振子的位移为，C错误；D．由图可知，在时间内，弹簧振子从B点向O点运动，弹簧振子的速度和加速度方向都指向平衡位置，始终相同，D正确。故选BD。4．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示，把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（）A．回复力等于重力和浮力的合力B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒C．位移满足函数式x＝4sin（cm）D．在t1~t2时间内，位移减小，加速度减小，速度增大【答案】ACD【详解】A．玻璃管振动过程中，受到重力和水的浮力，这两个力的合力充当回复力，故A正确；B．玻璃管在振动过程中，水的浮力对玻璃管做功，故振动过程中，玻璃管的机械能不守恒，故B错误；C．由于振动周期为0.5s，故ω＝＝4πrad/s由图乙可知振动位移的函数表达式为x＝4sin（cm）故C正确；D．由图乙可知，t1~t2时间内玻璃管在靠近平衡位置，故位移减小，加速度减小，速度增大，故D正确。故选ACD。考点三简谐运动的两类模型知识点弹簧振子模型和单摆模型模型弹簧振子单摆示意图简谐运动条件(1)弹簧质量可忽略；(2)无摩擦等阻力；(3)在弹簧弹性限度内(1)摆线为不可伸缩的轻细线；(2)无空气等阻力；(3)最大摆角小于5°模型弹簧振子单摆回复力弹簧的弹力摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力平衡位置弹簧处于原长处最低点周期与振幅无关T＝2πeq\r(\f(l,g))能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒考向1弹簧振子模型1．一个小物块拴在一个轻弹簧上，并将弹簧和小物块竖直悬挂处于静止状态，以此时小物块所处位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立Ox轴，如图所示。先将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，然后将小物块由静止释放并开始计时，经过s，小物块向下运动20cm第一次到达最低点，已知小物块在竖直方向做简谐运动，重力加速度，忽略小物块受到的阻力，下列说法正确的是（）A．小物块的振动方程为（国际单位）B．小物块的最大加速度为2gC．小物块的最大速度为m/sD．小物块在s的时间内所经过的路程为85cm【答案】D【详解】A．由对称性可知弹簧振子的振幅为A=10cm弹簧振子的振动周期为则小物块运动的初始位置为负的最大位移处，所以小物块的振动方程为选项A错误；B．根据简谐运动的对称性，小物块在最高点和最低点时的加速度最大，根据牛顿第二定律可得小物块最大加速度为g，B错误；C．小物块在平衡位置时的速度最大，若仅有重力势能和动能的的转化，有解得速度m/s由于弹簧有弹性势能，所以最大速度不是m/s，选项C错误；D．s为2个周期，根据可得小物块个周期的位移所以s的时间内小物块走的总路程为8A+0.05m=85cm选项D正确。故选D。2．如图所示，质量均为m的两物体A、B用劲度系数为k的轻质弹簧拴接，物体C叠放在物体B上，系统处于静止状态。现将C瞬间取走，物体A恰好不离开地面。已知弹性势能的表达式为，其中x为弹簧的形变量，重力加速度为g。以下说法正确的是（）A．物体C的质量为3mB．物体B运动到最高点时的加速度大小为3gC．物体B的最大速度大小为D．物体B上升的最大高度为【答案】C【详解】A．C物体叠加在B物体上面静止时，由二力平衡拿走C物体后，B物体在弹簧上做简谐运动，其在平衡位置时，弹簧压缩长度有其振幅当B物体上升到最高点，此时弹簧拉伸长度最长，由于物体A恰好不离开地面，由二力平衡所以由振幅相等解得物体C的质量为故A错误；B．B物体在最高点受重力和弹簧弹力，由于物体A恰好不离开地面，故所以由牛顿第二定律可得B物体在最高点的加速度为故B错误；D．物体B上升的最大高度为故D错误；C．当B物体经过平衡位置的时候其速度最大，B物体从最高点回落到平衡位置的过程中，B物体与弹簧组成的系统机械能守恒，则解得物体B的最大速度大小为故C正确。故选C。考向2单摆模型3．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟，如图甲所示，摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运动的速率由钟摆控制，旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，简化图如图乙所示．下列说法正确的是（）

A．摆钟慢了，应使圆盘沿摆杆下移B．摆钟快了，应使圆盘沿摆杆下移C．把摆钟从北京移到上海，应使圆盘沿摆杆上移D．把摆钟从山顶移到山脚，应使圆盘沿摆杆上移【答案】BC【详解】AB．若摆钟变慢，是因为周期变大，单摆的周期公式为，应减小摆长，即上移圆盘，同理，若摆钟变快，应下移圆盘，故A错误、B正确；C．从北京到上海，g值变小，周期变大，应减小摆长，即上移圆盘，故C正确；D．从山顶到山脚，g值变大，周期变小，应增大摆长，即下移圆盘，故D错误。故选BC。4．如图所示，三根长度均为L的轻细绳α、b、c组合系住一质量分布均匀且带正电的小球m，球的直径为，绳b、c与天花板的夹角，空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度，重力加速度为g，现将小球拉开小角度后由静止释放，则（）A．若小球在纸面内做小角度的左右摆动，则周期为B．若小球做垂直于纸面的小角度摆动，则周期为C．摆球经过平衡位置时合力为零D．无论小球如何摆动，电场力都不做功【答案】B【详解】根据题意可知，若小球以为圆心做简谐运动，则摆长为电场和重力场合成等效重力加速度为，振动的周期为根据题意可知，若小球以O为圆心做简谐运动，摆长振动周期为摆球经过平衡位置时速度最大，合力不为零；小球摆动过程中，沿电场力方向存在位移，故电场力有做功。故选B。考点四受迫振动和共振知识点1简谐运动、受迫振动和共振的比较1．受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。2．简谐运动、受迫振动和共振的比较振动项目简谐运动受迫振动共振受力情况仅受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等知识点2对共振的理解1．共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。受迫振动的振幅与驱动力频率的关系如图所示。2.共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。3.受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。考向1受迫振动和共振规律1．同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（）A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0【答案】BD【详解】ABD．当物体做受迫振动时，物体振动的频率等于驱动力的频率，故A错误，BD正确；C．受迫振动物体的固有频率与驱动力频率越接近，振幅越大，由图可知，甲的固有频率是f0，乙的固有频率是2f0，若驱动力的频率为3f0，甲单摆振动的振幅小于乙单摆振动的振幅，故C错误。故选BD。2．如图甲所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，其振动曲线如图乙所示；然后以某一转速匀速转动摇把，当振子振动稳定后，其振动图像如图丙所示。下列说法正确的是（）A．振子振动稳定后的振动周期为0.8sB．把手匀速转动的转速为150r/minC．为了增大振子振动的振幅，应增大把手的转速D．当把手匀速转动的频率为2.5Hz时，振子振动的振幅最大【答案】ACD【详解】A．弹簧振子振动稳定时的频率和周期与自身的固有周期和频率无关，等于受迫振动时驱动力的频率和周期，而匀速转动摇把施加驱动力的周期为0.8s，故A正确；B．由图知，摇把匀速转动的周期为0.8s，转动频率为转速故B错误；C．弹簧振子自由振动时的周期为0.4s，振动频率为由于此时遥把匀速转动的周期为0.8s，转动频率为1.25Hz，要增大振子振动的振幅，必须使摇把的转动频率向弹簧振子的固有频率靠近，因此应增大摇把的转速，故C正确；D．匀速转动摇把，当振子振动的振幅最大时，驱动力的频率应该和弹簧振子的固有频率相同。弹簧振子上下自由振动时的周期为0.4s，振动频率为2.5Hz，故当摇把匀速转动的频率为2.5Hz时，振子振动的振幅最大，故D正确。故选ACD。考向2实际生活中的受迫振动和共振3．为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（）A．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大C．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同D．振动器工人开动机器后迅速远离振动器，他听到的振动器声调不变【答案】C【详解】A．打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，此时粗细不同的树干