2024年11月绍兴市2025届高三高考科目诊断性考试（一模） 数学试卷（含答案）

2024年11月绍兴市高考科目诊断性考试数学试题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x²-x-6<0,B=-2,0,1,3,,则A∩B=A.{0,1}B.{-2,0,1}C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}2.若1z-1=1-i,则A.32-12iB.3.已知sinα+β=1A.15B.5C.-154.已知向量a=(-1,2),b=(2,0),则a在b上的投影向量是A.(-2,0)B.(2,0)C.(-1,0)D.(1,0)数学试题卷第1页(共6页)5.如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，AB，CD分别为该圆柱的上、下底面的直径，且AB⊥CD,则三棱锥A-BCD的体积是A.24B.18C.12D.66.已知直线l与抛物线C:y²=2pxp0)交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,过点O作l的垂线,垂足为E(2,l),则A.52B.32C.547.已知函数Fx=x²fx,且x=0是F(x)的极小值点,则A.sinxB.ln(x+l)C.eˣD.x-18.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱(按顺时针依次编号为1至48号)，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内(含10min)出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是A.16B.17C.18D.19二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的100块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量(单位：kg)，并整理得下表：亩产量[150,160)[160,170)[170,180)[180,190)[190,200)[200,210]频数5102540155则100块试验田的亩产量数据中A.中位数低于180kgB.极差不高于60kgC.不低于190kg的比例超过15%D.第75百分位数介于190kg至200kg之间10.下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是A.y=sinx与y=-sinxB.y=x³与y=x³-xC.y=2ˣ与y=3·2xD.y=lgx与lg(3x)11.在正三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PA=1,Q是底面△ABC内(含边界)一点,则下列说法正确的是A.点Q到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值B.顶点A，B，C到直线PQ的距离的平方和为定值C.直线PQ与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值3D.直线PQ与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在二项式2x-x13.若曲线y=elnx在点(e,e)处的切线与圆x-a²+y²=1相切,则a=▲14.已知数列{an}中,a,(i=1,2,…,n)等可能取-1,0或1,数列{bn}满足b₁=0,bₙ₊₁=bₙ+aₙ,则b₅=0的概率是▲.数学试题卷第3页(共6页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3(1)求B;(2)设CD是△ABC的中线，若CD=23,a=2,求16.(15分)已知函数f(1)当a=2时,求f(x)在区间[0,1]上的值域;(2)若存在x₀>1,当x∈0x₀时，fx数学试题卷第4页(共6页)17.(15分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=23,PB=2(1)证明:PA=PD;(2)若二面角P-AD-B的余弦值为-13,求直线BC18.(17分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求C的方程;(2)过左焦点的直线交C于A，B两点，点P在C上.(i)若△PAB的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；(ii)若△PAB的重心G在x轴上，求G的横坐标的取值范围.数学试题卷第5页(共6页)19.(17分)n维向量是平面向量和空间向量的推广，对n维向量mn=x1x2⋯x(1)求D(2)(i)求D(mn)中元素的个数;(ii)记gmn=∑i=1nx数学试题卷第6页(共6页)2024年11月绍兴市选考科目诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.C8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9.BC10.ACD11.ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.6013.±2四、解答题：本题共5小题，共77分。15.(13分)解:(1)因为3所以3sinBsinA=sinA(cosB+1).………2分又因为sinA>0,即3sinB-cosB=1,即又因为-π6<B-π6<5π6,(2)在△BCD中,由余弦定理cosB=BD2+BC2-CD22BC⋅BD=12,可得.BD²-2BD-8=0,解得BD=4,即………13分………11分………10分………8分16.(15分)解:(1)因为fx=cˣ-2x-1,所以f'x=cˣ-2,所以当x<ln2时,∫'(x)<0,当x>ln2时,∫'(x)>0所以f(x)在[0,ln2)上递减,在[ln2,l]上递增.因为f(0)=0,f(l)=c-3,f(ln2)=l-2ln2,且o-3<0,所以f(x)的值域是[1-2ln2………4分………2分数学答案第1页(共6页)………………7分(2)因为f'x=cˣ-a.①若a≤1,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=0,不符合题意.………………11分②若a>1,当x<lna时,∫'(x)<0:当x>lna时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,lna)上递减,在[lna,+∞)上递增,要存在x₀>1,当x∈(0,x₀),f(x)<0,则只需f(l)=c-a-l<0,所以a>c-1.………………13分17.(15分)解:………………15分(1)取AD中点E,连接PE,BE,因为AB=AD=23,∠BAD=60∘,所以△ABD是正三角形，因为E为AD中点，所以AD⊥又因为BC2+PB2因为BC∥AD,所以AD⊥PB.………4分又BE∩PB=B,所以AD⊥面PBE.………5分所以AD⊥PE,又因为E为AD中点,所以PA=PD.………6分解法1:(2)因为AD⊥BE,AD⊥PE,所以∠PEB是二面角P-AD-B的平面角,即cos∠PEB=-13在△PEB中，由余弦定理cos∠PEB=BE3+P………9分如图，以点E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴建立空间直角坐标系，则.A(3,0,0),B(0,3,0),C(-23,3,0),P0-L2所以BCPA=设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z),数学答案第2页(共6页)则m⋅AB=0m⋅令所以………………13所以cos<m,BC>|=|m⋅BC|m||BC|………………………15解法2:(2)因为AD⊥BE,AD⊥PE,所以∠PEB是二面角P-AD-B的平面角,即分…………8在△PEB中,cos∠PEB=BE2+P……9分所以AP=23,所以PA=AB,且取PB中点F,连接AF,DF,在等腰直角三角形PAB中，同理…………………11所以AF²+DF²=AD²,所以DF⊥AF,又DF⊥PB,所以DF⊥平面PAB,所以∠DAF即为直线AD与平面PAB所成角，………13分又sin∠DAF=22所以直线BC与平面PAB所成角的正弦值为………15分18.(17分)解:(1)由题意知e=ca=12,即a所以C的方程……………4(2)(i)设直线AB的方程为x=my-1,联立x=my-1x34数学答案第3页(共6页)设A（x₁,y₁）,B（x₂!y₂）,P（x₃,y₃）,则分………6因为△PAB的重心为原点，所以y₁+y₂+y₃=0,所以y3=-6m………8分代入x24+解得m=0,所以直线AB的方程是x=-1.…………………10分……………代入x24+解得所以…………14分所以(31+4)t(3t.+2)(3t-2)≤0,且1≠±…………………17分（ii）设G（l,0）,由（i）可知分…………12代入x2解得………………13分①当1<0时,1=-23×则在[4,+∞）上递增,所以…………………15分②当1≥0时,1=23×则在[4,+∞）上递增,所以…………………17分综上可知l∈数学答案第4页(共6页)19.(17分)解:1Dm₂=(2)(i)设D(mn)中元素的个数为an,由于.fm