河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题 含解析VIP

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的值域可以表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数，其值域可表示为：.故选：B.2.若“”是“”的充分条件，则是（）A第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角【答案】B【解析】【分析】根据角正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，，则是第三象限角或第四象限角；又要得到，故是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令即可判断;对于选项D:令，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数的值域为0,+∞，故，，故选项A错误；对于选项B:因为对数函数在上单调递增，所以当时，，故选项B错误；对于选项C:令,则，，显然，故，使得成立，故选项C正确;对于选项D:结合题意可得：令，因为，所以，所以，因为，故不存在，使得,故选项D错误.故选：C.4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、B；再取特殊值和，可得函数的大致图象为C，故选：C.5.已知向量，满足，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知，，所以故向量与的夹角为故选:A6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，所以有故选：C7.已知，，，则的最小值为（）A.8 B.9 C.12 D.16【答案】A【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】当且仅当，，即时等号成立；故选：A8.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数，易知要使时，，则需要两函数同号，所以我们需要去找他们零点，时零点相同，然后求解参数即可.【详解】由题易知，当时，；由对数函数的性质可知，当时，；当时，；显然函数有两个根，不妨令，则由二次函数的图像可知，时，；时，故要使恒成立，则所以有，解得故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的值域为 B.为奇函数C.在上单调递增 D.的最小正周期为【答案】AD【解析】【分析】对于选项A:利用换元，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C:结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D:借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由，令，则，，因为在上单调递增，所以，故选项A正确；对于选项B:由可知，对任意的，因为，而，易验证故不是奇函数，故选项B错误；对于选项C:结合选项A可知在单调递减，而在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得在单调递减，故选项C错误；对于选项D:因为的最小正周期为，所以，所以的最小正周期为，故选项D正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当时，应进甲商场购物 B.当时，应进乙商场购物C.当时，应进乙商场购物 D.当时，应进甲商场购物【答案】AC【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场，所以选项A正确；当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误；当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，因为，所以故，所以应进乙商场，所以选项C正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误.故选：AC11.已知函数满足：①，，；②，则（）A. B.C.在上是减函数 D.，，则【答案】BCD【解析】【分析】取可求，判断A，取证明，取可得，由此可得，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC，选项D的条件可转化为当，恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为，，，取可得，A错误；取可得，又，所以，取可得，，所以，其中，所以，B正确，由指数函数性质可得，其中在上单调递减，所以在上是减函数，C正确；不等式可化为，所以，由已知对于，恒成立，所以当，恒成立，故，其中，因为函数，在上都单调递增，所以在上的最大值为，所以，D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，，，所以切线斜率，故切线方程为.故答案为：13.已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得，，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】为偶函数，所以，，得，，当x∈0,π时，，在区间内仅有两个零点，所以，解得：，所以.故答案为：214.若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得，进而求得，也即是.【详解】，所以为锐角，为锐角，所以.由于，所以，设，则，，为锐角，则.由于，所以，所以①，在中，由正弦定理得，所以，所以，即，由正弦定理得，即，解得，则为锐角，由解得，在三角形中，由余弦定理得，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以，解得.故答案为：【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知及正弦定理得：，由得：，所以，又，所以，即，因为，所以，所以解得.【小问2详解】因为为的外心,且由上问知，所以,设（为的外接圆半径），因为为边的中点，且，所以在中易得：，所以，即，解得：，在中由余弦定理可得：，解得，在中由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，所以，即.所以周长，当且仅当时等号成立.故周长的最大值为.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（1）求a；（2）如图，D是外一点（D与A在直线BC的两侧），且，，求四边形ABDC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求，即求角，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解，以及两角和的三角函数求，再根据正弦定理求，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，，所以，所以，即，所以，则所以；【小问2详解】，，，,中，，即，所以，，所以四边形的面积为.17.已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上．（1）求a，b，的值；（2）若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a，b，的值；（2）由题意中点的变换求得，利用正弦函数的图象特点即可求得在上的单调递减区间.【小问1详解】因，，由，可得，由，其中，因点和在函数的图象上，则有，，结合图象，由①可得，将其代入②式，可得，即，（*）由图知，该函数的周期满足，即又，则有，由（*）可得，故.由解得，，故，，；【小问2详解】不妨记，则，因是图象上的一点，即得，即，又因是函数图象上的相应的点，故有.由，可得，因，故得.在上的单调递减区间为.18.已知函数，m，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，证明：，．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式等价转化为，设，依题意，只需证在时，成立，分别求即可得证.【小问1详解】当时，，，由，可得或，由，可得，即在和上单调递增；在上单调递减，时，，时，，故时，取得极小值也即最小值，为.【小问2详解】当时，，函数的定义域为，，当时，恒成立，故在上增函数；当时，由，可得，故当或时，；即在和上单调递增；当时，，即在上单调递减.综上，当时，在上为增函数；当时，在和上单调递增,在上单调递减.【小问3详解】当时，,要证，，只需证，即证在上恒成立.设，依题意，只需证在时，.因，，由，可得，由，可得，故在上单调递减，在上单调递增,则在时取得极小值也是最小值，为；因，，由，可得，由，可得，由，可得，故在上单调递增，在上单调递减，则在时取得极大值也是最大值，为.因，即在上成立，故得证.即，．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造，证明；（2）比较最值法：即证明即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：．（1）证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：；（3）如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的