四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期11月学生学业发展指导（文化学科）测评数学试题 含解析

【考试时间：2024年11月5日14：15—16：15】高中2024级学生学业发展指导（文化学科）测评数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页：答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，案超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义可求.【详解】，故选：C2.若，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用反例可判断ABC的正误，利用不等式的性质可判断D的正误.【详解】取，则，，故AC错误；取，则，故B错误；对于D，由不等式的性质可得成立，故D正确；故选：D.3.设函数则（）A.12 B.10 C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】根据题设条件求出后可求.【详解】，故选：B4.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集.【详解】若命题为真命题，则，解得：或，所以当命题为假命题时，得到取值范围是.故选：A5.下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义及幂函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，设，则，故为上偶函数，而在为增函数，故A正确；对于B，设，则，故为上奇函数，故B错误；对于C，在上为减函数，故C错误；对于D，，该函数为反比例函数，为上的奇函数，故D错误；故选：A.6.函数的图象不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】讨论，和三种情况，讨论函数类型，即可判断函数的图象.【详解】当时，，，为A的图象；当时，为对勾函数，为B图象；当时，，函数的零点是，函数的单调递增区间是和，为C图象；不管为何值，都不可能是D的图象.故选：D7.某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求面积最大值.【详解】设，则，因为，所以，解得，其中，所以花园的面积为，当且仅当即时等号成立，故花园的面积的最大值为，故选：B.8.已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，不等式转化为，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解.【详解】，在区间和都是增函数，且，所以函数在上单调递增，且，所以不等式，即，在恒成立，即，恒成立，即，得或.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下面有关结论正确的有（）A.定义域为 B.函数在上的值域为C.在上单调递增 D.函数的图象关于轴对称【答案】AB【解析】【分析】根据反例可判断BC的正误，求出函数的定义域后可判断A的正误，判断函数的单调性求出函数的值域后可判断D的正误.【详解】因为，故其定义域为，故A正确；而，，故在上不单调递增，故C错误，而，故函数的图象关于轴对称，故D错误；又当时，因均为增函数，故在上为增函数，故其值域为，故B正确.故选：AB.10.下列叙述中正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“”的否定是“”C.“”的一个必要不充分条件是“”D.集合中只有一个元素的充要条件是【答案】ABC【解析】【分析】对于ACD，根据各选项中条件之间的推出关系可判断它们的条件关系，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A，当时，由，而，成立，但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；对于C，若，则，故成立，若，成立，但，故“”的一个必要不充分条件是“”，故C成立；对于D，若，则，集合中只有一个元素推不出，但时，，该集合为单元素集合，故集合中只有一个元素的充分不必要条件是，故D错误，故选：ABC.11.高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是（）A若，则B.方程在区间上有4个实数根C.函数在上单调递增D.，都有【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据高斯函数的定义可得，故可判断A的正误，对于B，分段讨论后可判断其正误，对于C，利用反例可判断其正误，结合A的范围及高斯函数的定义可判断其正误.【详解】对于A，因为x表示不超过的最大整，故，故，所以，，，所以，故A正确；对于B，当时，，此时的解为；当时，，此时的解为；当时，，此时的解为；当时，，此时的解为；当时，，不是的解，故方程在区间上有4个实数根，故B正确；对于C，，故在0,+∞上不是单调递增，故C错误；对于D，由A的分析可得，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于函数新定义题，应根据新定义研究函数的性质，必要时需分段讨论.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据具体函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足，解得：，且，所以函数的定义域是.故答案为：13.已知是定义在上的奇函数，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质计算可求得的值.【详解】因为，，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，又，所以，解得.故答案为：.14.若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】把原方程解转化为在0,+∞上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围.【详解】令，则，则原方程可化为，因为关于的方程有四个不同的实数根，故在0,+∞上有两个不同的正数解，故，解得.故答案为：.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出结合，根据补集并集的定义可求.（2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而得到关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围．【小问1详解】当时，，而，故.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集，故，故.16.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增．（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），.（2）或.【解析】【分析】（1）根据单调性可得，再根据奇偶性可得，从而得到函数解析式；（2）根据单调性和奇偶性可得，解该不等式可得实数的取值范围．【小问1详解】因为在上单调递增，故即，而为整数，故，因为幂函数的图象关于轴对称，故为偶数，故，此时.【小问2详解】因为，故，所以，所以或.17.已知，且．（1）若，求的最小值及此时相应的值；（2）若，求的最小值，并求出此时的值．【答案】（1）的最小值为，此时.（2）的最小值为，此时.【解析】【分析】（1）根据基本不等式求得，故可求其的最小值及对应的的值；（2）利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值及对应的的值，从而可求原代数式的最小值.【小问1详解】因为，所以，当或（舍），故，当且等号成立，故的最小值为，此时.【小问2详解】因为，故，又，故，当且仅当时等号成立，而，故的最小值为，此时.18.某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元．（1）求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；（2）当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？【答案】（1）（2）当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元.【解析】【分析】（1）由利润公式，结合与的函数关系式，分段写出函数解析式；（2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解.【小问1详解】本季度增加的利润，当时，，当时，，所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为；【小问2详解】，当时，，当，即时，等号成立，当时，是减函数，当时，取得最大值16，因为，所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元.19.定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）．（1）判断是否为“型函数”？并说明理由；（2）是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）若函数是“型函数”，求实数的取值范围．【答案】（1）不是“型函数”（2）（3）【解析】【分析】（1）分别求函数在和时函数值的范围，再结合定义，即可判断；（2）根据的定义域求的取值范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围；（3）对进行分类讨论，根据函数的单调性分别求两段函数的范围，再结合“型函数”的定义，即可求解.【小问1详解】函数，当时，，当时，，当时，，不存在，使，所以不是“型