《数学分析2》课程教学大纲

《数学分析2》教学大纲课程名称：数学分析（3）英文名称：MathematicalAnalysis课程编号：F035091041学分：6总学时/课内实践学时：96/0课程性质：必修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介数学分析是信息与计算科学专业的一门专业基础课程，是进一步学习复变函数、常微分方程、偏微分方程、概率论、实变函数、泛函分析等后续课程的基础，是数学类专业硕士研究生必考的基础课。本课程以极限思想贯穿始终，主要内容包括极限论、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论。本课程的主要目的是通过三个学期对数学分析的系统学习与训练，逐步提高学生的数学修养，掌握数学的基本思想和方法，具备一定的理论分析及论证能力，提高学生利用数学分析的基本思想和方法解决实际问题的能力。本课程以课堂讲授为主，辅以自学和讨论。考核方式为闭卷考试。在课堂讲授中，深入思考挖掘课程中蕴含的哲学及政治思想，将思政教育融汇于教学过程，引导学生树立正确的人生观、价值观，培养学生的家国情怀。Mathematicalanalysisisaprofessionalbasiccourseininformationandcomputationalscience.Itisthebasisforfurtherlearningofcomplexvariablefunction,ordinarydifferentialequation,partialdifferentialequation,probabilitytheory,realvariablefunction,functionalanalysisandothersubsequentcourses.Itisthebasiccourserequiredformasterstudentsmajoringinmathematics.Thiscourserunsthroughtheconceptoflimits.Andthemaincontentofthecourseincludeslimittheory,calculusoffunctionsofonevariable,calculusoffunctionsofmultiplevariables,andseriestheory.Themainpurposeofthecourseistograduallyimprovestudents'mathematicalcultivation,masterthebasicideasandmethodsofthebasicideasandmethodsofmathematics,havecertaintheoreticalanalysisanddemonstrationability,andimprovestudents'abilitytosolvepracticalproblemsthroughthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis.Thiscourseismainlyaboutclassroomteaching,supplementedbyself-studyanddiscussion.Theassessmentmethodisaclosed-bookexamination.Intheclassroomteaching,weshouldthinkdeeplyaboutandexplorethephilosophyandpoliticalthoughtscontainedinthecourse,integrateideologicalandpoliticaleducationintotheteachingprocess,guidestudentstoestablishacorrectoutlookonlifeandvalues,andcultivatestudents'feelingsofhomeandcountry.二、课程目标1.强化科学伦理教育，注重科学思维方法训练和科学精神培养，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生科技报国的家国情怀和使命担当。2.理解极限思想，在极限思想的基础上，掌握一元函数微积分、多元函数微积分、级数论，为后续课程的学习奠定良好的基础。3.掌握数学分析的基本思想与方法，培养数学思维，提高学生运用数学思想和方法解决实际问题的能力。1.Strengthenscientificethicseducation,payattentiontothetrainingofscientificthinkingmethodsandscientificspirit,improvestudents'abilitytoanalyzeandsolveproblems,andcultivatestudents'nationalfeelingsandmissionresponsibilityforservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Deepunderstandingoflimitthought,onthebasisoflimitthought,masterthecalculusoffunctionsofonevariableandseveralvariables,seriestheory,tolayagoodfoundationforthesubsequentcourselearning.3.Masterthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis,cultivatemathematicalthinking,andimprovestudents'abilitytousemathematicalideasandmethodstosolvepracticalproblems.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础；了解数学的历史概况和广泛应用，以及当代数学的新发展。目标2，3毕业要求2：能力要求掌握数学科学的思想方法，具有扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力。目标2，3毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观；具有较好的数学的人文社科素养。目标1四、课程教学安排课程共有7项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1多元函数的极限与连续人生观10102多元函数微分学-——16163隐函数定理及其应用理论联系实际12124含参变量积分-——14145曲线积分-——886重积分-——22227曲面积分辩证唯物主义哲学思想1414合计9696教学安排第一章多元函数的极限与连续教学要求：掌握平面点集的有关概念，理解多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，了解平面点集上的完备性定理，掌握有界闭域上连续函数的性质。教学内容：平面点集的概念，多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，平面上的完备性定理，有界闭域上连续函数的性质。重点难点：多元函数极限的概念、性质、计算，有界闭域上连续函数的性质及平面的完备性定理。思政元素：在介绍多元函数的极限时，可以插入对极限理论有着巨大贡献的数学家-柯西的生平。柯西(Cauchy,1789-1857)是法国\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"数学家、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"物理学家、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"天文学家。1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫“ε-δ”定义，在此基础上，才有了连续、导数、收敛等概念的的严谨定义。柯西对定积分作了最系统的开创性工作，他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前，\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"微积分基本定理。通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动和直观了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。柯西在其它方面的研究成果也很丰富。\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"复变函数的微积分理论就是由他创立的。在\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"代数方面、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"理论物理、光学、\t"/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF/_blank"弹性理论方面，也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有27卷，其论著有800多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。柯西就是这样在他的一生中，孜孜不倦，勤奋工作，在数学中取得了卓越的贡献。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他临终的一句名言“人总是要死的，但是，他们的业绩永存。”通过柯西的生平介绍，激发学生学习这些伟大科学家的精神，培养科学严谨的团队，树立人生目标，不懈追求，永不言弃。第二章多元函数微分学教学要求：掌握偏导数、全微分、方向导数、梯度、高阶偏导数等概念，理解全微分、偏导数、连续三者之间的关系，会求函数的偏导数、全微分、方向导数、梯度，熟练掌握多元复合函数微分法与求导法则，了解多元函数的泰勒公式，能够运用多元函数微分学理论求极值。教学内容：多元函数的全微分、偏导数、可微性条件，复合函数微分法，方向导数与梯度，泰勒公式，极值。重点难点：偏导数、全微分的概念，复合函数求导法则，方向导数与梯度，泰勒公式，极值。第三章隐函数定理及其应用教学要求：了解隐函数、隐函数组的概念，能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数，掌握隐函数存在定理在几何上的应用，会用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：隐函数的概念，隐函数存在条件，利用隐函数存在定理求导，隐函数存在定理在几何上的应用，条件极值。重点难点：隐函数存在定理，隐函数存在定理在几何上的应用，用拉格朗日乘数法求条件极值。思政元素：在介绍条件极值时，可以引入实际生活中的问题：在设计易拉罐时，在容量一定的条件下，为什么现在的易拉罐会设计成圆柱状？如何选择圆柱的底半径与高，用料最省？而后用拉格朗日乘数法求条件极值，即约束条件下的最优解。这样将所学知识用于实际生活中，理论联系实际，激发学生学习数学的兴趣，并引导学生节约资源，关注环境保护。第四章含参变量积分教学要求：掌握含参变量正常积分的概念和分析性质，理解含参变量反常积分收敛和一致收敛的概念及性质，掌握含参变量反常积分一致收敛的M判别法、阿贝尔判别法、狄立克雷判别法，了解Г函数、B函数的性质及二者的关系，能用收敛性判别法判断某些含参变量反常积分的一致收敛性。教学内容：参变量正常积分，参变量反常积分，欧拉积分。重点难点：含参变量积分正常积分的概念和分析性质，含参变量反常积分一致收敛的概念、性质与判别，Г函数、B函数。第五章曲线积分教学要求：掌握第一及第二类曲线积分的定义、性质、计算方法，了解两类曲线积分之间的联系。教学内容：第一及第二类曲线积分的定义、性质、计算，两类曲线积分之间的联系。重点难点：两类曲线积分的定义、计算，及它们之间的关系。第六章重积分教学要求：掌握二重积分与三重积分的概念、性质，掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，以及二重积分的一般换元法，理解格林公式及其应用，掌握曲线积分与路径的无关性，会用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分，了解三重积分的一般换元法，理解重积分在几何上的应用，了解重积分在物理上的应用。教学内容：二重积分与三重积分的概念、性质、计算，格林公式，曲线积分与路径的无关性，重积分的应用。重点难点：二重积分与三重积分的概念、格林公式，计算，曲线积分与路径的无关性。第七章曲面积分教学要求：掌握第一及第二型曲面积分的定义、性质、计算，了解两类曲面积分之间的关系，理解三重积分和曲面积分之间联系的高斯公式，理解曲线积分和曲面积分之间联系的斯托克斯公式。教学内容：第一型曲面积分与第二型曲面积分的定义、性质、计算，高斯公式，斯托克斯公式。重点难点：第一型曲面积分与第二型曲面积分的定义