数学湘教版自我小测：生活中的优化问题举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示,现有四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快；②前三年该产品产量增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产;④第三年后该产品产量保持不变．其中说法正确的有()．A．①④B．②C．①③D．②③2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为(）．A．eq\f（20\r(3）,3)B．100C．20D．eq\f(20,3）3．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为()．A．eq\r(3,V)B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V)D．2eq\r（3，V)4．某公司生产某种产品,固定成本为20000元，每生产一单位产品,成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f（1，2)x2，0≤x≤400,,80000，x＞400，）)则总利润最大时，每年生产的产量是(）．A．100B．150C．200D．3005．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0。5m，那么高为__________时容器的容积最大,最大容积为__________．6．某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)＝500＋x－0.001x2，生产__________单位这种商品时利润最大，最大利润是__________．7．做一个无盖的圆柱形水桶，若需容积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为__________．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行1海里所需的费用最少轮船的速度为________，航行1海里所需的费用总和最少为________．

参考答案1．B2．A如图，设底面半径为r，高为h，则有eq\f（r，20)＝sinθ，eq\f(h，20）＝cosθ，∴V(θ）＝πr2·h＝8000πsin2θcosθ。∴V′(θ)＝16000πsinθcos2θ－8000πsin3θ.令V′(θ）＝0，解得tanθ＝eq\r(2)，得唯一极值点．∴cosθ＝eq\f（\r（3），3）.∴h＝eq\f(20\r(3）,3）.3．C设底面边长为x,则表面积S＝eq\f(\r（3),2）x2＋eq\f(4\r(3)V，x)（x＞0)，S′＝eq\f(\r（3），x2)(x3－4V）,令S′＝0，得唯一极值点x＝eq\r(3,4V)。4．D设总利润为y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)x2＋300x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400。))当x∈（400，＋∞）时,y′＝－100≠0，此时y无最值．当x∈［0,400］时，y′＝－x＋300。令y′＝0,得x＝300.由y′在x＝300处由正变负，故y在x＝300处有唯一极值点．又f（0）＜0，f（400）＜0，∴f（300）为最大值．5．1。2m1。8m3设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x＋0。5）m,高为eq\f(14。8－4x－4(x＋0。5)，4)＝3.2－2x。由3。2－2x＞0和x＞0,得0＜x＜1。6。设容器的容积为ym3，则有y＝x(0.5＋x）·(3。2－2x)＝－2x3＋2。2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6。令y′＝0，有－6x2＋4。4x＋1.6＝0,解得x1＝1，x2＝－eq\f(4，15)（不合题意,舍去）．当x＝1时,y取最大值，y最大＝－2＋2。2＋1.6＝1.8(m3),这时高为3.2－2×1＝1。2(m)．∴当高为1.2m时,容器的容积最大为1。8m3。6．500750L′（x)＝1－0.002x。令L′（x)＝0，得x＝500,此时L（500）＝750。由已知，L(x）在其定义域[0，＋∞）上只有一个极值点，所以生产500单位这种商品时利润最大,最大利润为750.7．3设底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π.∴l＝eq\f(27，R2）.要使用料最省,只需使圆柱的表面积最小．∴S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f（27，R）,S′表＝2πR－eq\f（54π,R2)＝0,∴R＝3。∵S表有唯一极值点，故当R＝3时，S表最小．8．20海里/时7.2元设速度为每小时v海里时燃料费是每小时p元,那么由题设的比例关系，得p＝k·v3，其中k为比例常数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq\f（6，103）＝0.006.于是有p＝0。006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么因每小时所需的总费用是0.006v3＋96（元），而航行1海里所需时间为eq\f(1,v)小时．所以,航行1海里的总费用为q＝eq\f(1，v）（0。006v3＋96）＝0.006v2＋eq\f（96，v）.q′＝0。012v－eq\f(96,v2)＝eq\f（0.012,v2）(v3－8000）．令q′＝0，解得v＝