数学湘教版自我小测：间接证明：反证法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列作条件使用的是()．①结论相反的判断,即假设②原命题的条件③公理、定理、定义④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除,则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是(）．A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除3．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b";②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内"；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有()．A．0个B．1个C．2个D．3个4．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于(）．A．eq\f(1，3）B．eq\f(1,2）C．eq\f(3，4)D．eq\f（2，5)5．用反证法证明：当m为任何实数时，关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个方程有实数根．6．已知函数f（x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1）（a＞1)．用反证法证明方程f(x）＝0没有负数根．7．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线,求证：点M不在线段CD上．8．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a.求证：b与c是异面直线．9．平面上有四个点,任何三点不共线．证明:以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

参考答案1．C由反证法的定义可知①②③可作为条件使用．2．B“至少有一个”的否定是“一个也没有”．3．B①错，应为a≤b。②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．4．A假设a，b,c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x,b＜x,c＜x,∴a＋b＋c＜3x。∵a＋b＋c＝1,∴3x＞1。∴x＞eq\f(1,3)，若取x＝eq\f（1,3)就会产生矛盾．5．证明:假设两个方程都没有实数根，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝25－4m＜0,,Δ2＝1－8(6－m）＜0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞\f（25，4）,，m＜\f（47，8).）)∵eq\f(47,8）－eq\f(25,4）＝eq\f(47－50,8）＝－eq\f（3,8）＜0，∴eq\f（47，8）＜eq\f（25，4)。可知上述不等式组无解,∴假设错误，∴关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个方程有实数根．6．证明：假设方程f(x）＝0有负数根，设为x0（x0≠－1）．则有x0＜0,且f(x0）＝0.∴＋eq\f（x0－2，x0＋1)＝0⇔＝－eq\f（x0－2，x0＋1）.∵a＞1，∴0＜＜1，∴0＜－eq\f(x0－2，x0＋1)＜1。解上述不等式，得eq\f（1，2）＜x0＜2.这与假设x0＜0矛盾,故方程f（x)＝0没有负数根．7．证明：假设点M在线段CD上，则BD＜BM＝CM＜CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2.∴AB2＝BD2＋AD2＜BM2＋AD2＜CD2＋AD2＝AC2，即AB2＜AC2，AB＜AC.这与AB＞AC矛盾，∴点M不在线段CD上．8．证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B。①若b∥c，∵a∥c,∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B,∵c⊂β，∴B∈β。又A∈β，A∈b，∴b⊂β.又b⊂α，∴α∩β＝b。又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．9．证明：假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记这四个顶点分别为A，B，C，D,考虑点D在△ABC内、外两种情形．(1)如图①,点D在△ABC内．根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，从而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC＜270°。这与一个周角等于360°矛盾．（2)如图②，点D在△ABC外．根据假设，△ABD中，∠BAD＜90°,△ABC中，∠ABC＜90°,△