2024学年云南省高二数学第一学期期中试题卷附答案解析

学年云南省高二数学第一学期期中试题卷.本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．4．已知命题p：，，命题q：，，则（）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题5．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．B．C． D．6．已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（）A． B． C． D．7．已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C． D．8．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，，，则（）A． B．直线AB的一个方向向量为C．四点共面 D．点到直线的距离为10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．点是图象的一个对称中心B．的单调递增区间为，C．在上的值域为D．将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则11．已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（）A．若圆与圆外切，则或B．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为C．若圆与圆关于点对称，则D．当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点三、填空题（本大题共3小题）12．从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为.13．已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则.14．如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点的坐标分别为，，.(1)求过点且与直线平行的直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程.16．某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，求的面积的最大值18．已知直线，圆.(1)若直线与圆相切，求的值；(2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值.19．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.

(1)求异面直线EB与DF所成角的余弦值(2)证明：平面平面BDF.(3)若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值.参考答案1．【答案】A【详解】由得：，即；由得：，即，.故选：A.2．【答案】D【详解】，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．【答案】C【详解】由得，所以直线的斜率，即，又，所以倾斜角.故选：C.4．【答案】B【详解】对于p而言，，故p是假命题，是真命题.对于q而言，，，故q是真命题，是假命题.综上，和q都是真命题.故选：B.5．【答案】D【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：D6．【答案】B【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为．设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为．故选：B.7．【答案】D【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是.故选：D8．【答案】D【详解】设，，则，，即，①.因为点A在圆上运动，所以满足②.把①代入②，得，即.故线段OA的中点P的轨迹方程为.故选：D9．【答案】ACD【详解】，A正确；，B错误；由题意得，则，所以四点共面，C正确；，，，则点到直线的距离为，D正确.故选：ACD.10．【答案】AC【详解】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；令（），则（），故的单调递增区间为（），B错误；因为，所以，故在上的值域为，C正确；将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.故选：AC11．【答案】ABD【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确．当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确．若圆与圆关于点对称，则解得，C错误．当时，圆：，圆：，则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确．故选：ABD.12．【答案】/0.3【详解】根据题意知样本空间，所以，事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则，所以，故答案为：.13．【答案】【详解】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），，即，解得，，所以.故答案为：.14．【答案】【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，则平面的一个法向量，所以，即直线平面，故直线与平面所成角的大小为.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可知，故所求直线的方程为，即.（2）易知，则所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即.16．【答案】(1)，2.4h(2).【详解】（1）由，解得.因为，所以中位数在内，设中位数为x，则，得，即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.（2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1，则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，所以这2人来自不同分组的概率为.17．【答案】(1)(2).【详解】（1）由，可得，即，因为，所以，解得.（2）由余弦定理可得，因为，所以，则，所以的面积，当且仅当时，等号成立.故的面积的最大值为.18．【答案】(1)或.(2)【详解】（1）由圆的方程可知圆心，半径.直线，即.因为直线与圆相切，则.解得或.（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离.同样根据点到直线距离公式.化简得.解得.19．【答案】(1)(2)证明见解析(3).【详解】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

，，，，则，，，故异面直线EB与D