2024学年杭州市高二数学第一学期期中试题卷附答案解析

学年杭州市高二数学第一学期期中试题卷.本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11第I卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（）A.12 B.11 C.10 D.93.若复数满足，则复数（）A.B.C. D.4.已知平面向量为单位向量，若，则（）A.0 B.1 C. D.35.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（）A. B. C. D.7.设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（）A. B. C. D.8.已知直线与动圆，下列说法正确的是（）A.直线过定点B.当时，若直线与圆相切，则C.若直线与圆相交截得弦长为定值，则D.当时，直线截圆的最短弦长为二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.若复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部是B.的共轭复数是C.的模是D.在复平面内对应的点在第二象限10.如图，已知正方体分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是（）A.存在使得B.任意，使得C.存在，使得共面D.任意，使得共面11.已知曲线的方程，则以下结论正确的是（）A.无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称B.无论实数取何值，曲线都是封闭图形C.当时，曲线恰好经过个整点（即横､纵坐标均为整数的点）D.当时，曲线所围成的区域的面积小于第II卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是______.13.已知椭圆的左､右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是__________.14.已知正三棱锥的外接球为球是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：（2）已知落在60,70成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差；（3）若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.16.在中，内角的对边分别为，若（1）求的大小；（2）若是线段上一点，且，求的最大值.17.在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点（1）求圆的方程；（2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.18.如图所示，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积；（3）求二面角的平面角的余弦值.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为，离心率为，设Px0,y0是第一象限内椭圆（1）求椭圆的方程；（2）当轴，求的面积；（3）若分别记的斜率分别为，求的最大值.【答案解析】1.B【分析】运用斜率与倾斜角关系求解即可.由题直线的斜率为，设直线的倾斜角，则且，所以倾斜角.故选：B.2.C【解析】【分析】根据百分位数概念，求出分位数，也求出平均值，构造方程计算即可.这组数据一共有个，，，则.这组数据的分位数是第个数，即.这组数据的平均数为.因为这组数据的分位数等于它们的平均数，所以.解得.故选：C.3.D【解析】【分析】运用复数除法运算计算即可.满足，则复数.故选：D.4.B【解析】【分析】根据已知条件求出值，再利用这个值计算.已知，根据向量模长公式，可得.展开得到.因为，是单位向量，所以，即，.代入上式可得，解得.同样根据向量模长公式，.将展开得到.把，，代入可得：.所以.故选：B.5.A【解析】【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，，即，∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．6.C【解析】【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离.已知点和点，则.向量在上的投影长度.先求.再求.所以.根据勾股定理，点到直线的距离.先求.则.故选：C.7.D【解析】【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的加法公式求出。因为与是对立事件，根据对立事件概率之和为，已知，所以.根据以及，，通过求出，即。然后.根据概率的加法公式，将，，代入可得：.故选：D.8.C【解析】【分析】对于直线方程，可通过整理式子找到定点；对于圆的方程，化为标准方程可得到圆心和半径.然后根据直线与圆的位置关系相关定理，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断.对于A，将直线整理为.令，解方程组，得，即，将代入得，所以直线过定点，故A选项错误.对于B，当时，直线方程为，即.圆，圆心，半径.因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，或，解得或，故B选项错误.对于C，圆，圆心，半径.直线，根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.弦长，若弦长为定值，则为定值，与，无关.当时，，，是定值，故C选项正确.对于D，当时，求直线截圆的最短弦长当时，圆，圆心，半径.直线过定点.圆心到定点的距离.根据几何关系，直线截圆的最短弦长，故D选项错误.故选：C.9.BC【解析】【分析】根据复数的虚部、共轭复数、模的计算，以及复数的平方运算和复平面的概念，通过分别计算和分析各个选项来得出正确答案.对于A选项，，这里，，所以的虚部是，A选项错误.对于B选项，因为，所以的共轭复数，B选项正确.对于C选项，对于，则，C选项正确.对于D选项，先计算.在复平面内对应的点为，这个点在第四象限，D选项错误.故选：BC.10.ACD【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则，利用基底表示出所求向量，结合向量共面的条件，由此可得结果.对于A，，得，A选项正确；对于B，，故，B选项错误；对于C，，则时，共面，C选项正确；对于D，正方体中，，，四边形为平行四边形，都在平面内，所以任意，都有共面，D选项正确.故选：ACD.11.AC【解析】【分析】选项A，利用曲线上任意一点关于轴的对称点仍在曲线上，即可判断；选项B，根据条件可得到，当时，及，从而可得，，即可判断；选项C，通过对曲线方程特点分析，分，，三种情况下，曲线图象经过的点，即可判断；选项D，由C项得到的整点围成的图形面积之和即可判断.对于选项A，设是曲线上任意一点，则其关于轴的对称点为，又因为，即点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，故选项A正确，对于选项B，由得到，故，当时，，此时曲线不封闭，故选项B错误，对于选项C，当时，曲线为，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数，当时，，解得或，即曲线经过，根据曲线关于轴对称可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，所以选项C正确，对于选项D，当时，曲线，当，曲线方程为：即设，则，其中，因，故.当时，则，若且，则由得，但此时，矛盾；故当时，，或，由C可知此时图形是封闭的，故此时曲线与坐标轴围成的面积大于1，当时，，此时，而，，故此时曲线在的下方，此时曲线与坐标轴围成的面积大于，由A中曲线的对称性可得曲线围成的面积大于，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C,对二次方程中的绝对值进行分类讨论，找到曲线经过的整点，以此为突破口，可解决整点个数，对于D，借助三角换元研究曲线点的坐标特征.12.【解析】【分析】圆台的体积公式（其中为圆台的高，为下底面半径，为上底面半径），我们需要先根据圆台的母线长、上下底面半径求出圆台的高，再代入体积公式计算体积.设圆台高为，根据圆台的母线、高和上下底面半径之差构成直角三角形，其中母线为斜边.已知，，，根据勾股定理，，代入圆台体积公式，所以.故答案为：.13.【解析】【分析】根据题设及点线距离公式整理得，结合其几何意义得求参数范围，再由椭圆离心率公式求离心率范围.由题意，椭圆左右焦点坐标为，所以，即，即在数轴上到的距离和为8，故，即，所以.故答案为：14.【解析】【分析】对于正三棱锥，底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范围，需要先求出外接球的半径以及球心到点的距离，的取值范围就是球心到点的距离加减外接球半径.因为底面是正三角形，.根据正三角形外接圆半径公式（其中为正三角形的边长），可得.设正三棱锥的高为，顶点在底面的射影为.因为为中点，在上，且.对于正三角形，，则.在中，，，根据勾股定理.设外接球半径为，球心在高上.根据，将，代入可得：.展开得.移项化简得，解得.因为.设球心到点的距离为，在中，，，根据勾股定理.的最小值为，最大值为.，.所以取值范围是.故答案为：.15.（1）人（2），（3）【解析】【分析】（1）根据频率算出人数即可；（2）根据长方体面积和为1，求出a，根据分层抽样的平均值，方差公式计算即可；（3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案.【小问1详解】人，人，不高于50分的抽到人.【小问2详解】由题意可知，解得由图中可知：落在60,70的学生人数为30人，落在的学生人数为60人，故，.【小问3详解】记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为.16.（1）（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理计算；（2）借助向量分点的向量性质，结合基本不等式和面积公式计算即可，【小问1详解】由题意，根据正弦定理得，即，根据余弦定理可知.【小问2详解】由题意边上一点，且，可得，，故，，故，当且仅当时取到等号，故，即的最大值为，当且仅当时取到等号17.1）（2）【解析】【分析】（1）对于求圆的方程，需要确定圆心坐标和半径.根据圆与y轴相切可知圆心到y轴距离等于半径，再利用圆过两点可列出方程求出圆心和半径.（2）对于求直线方程，设出直线方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，再结合弦长公式以及已知条件列出方程求解直线斜率.【小问1详解】在平面直角坐标系中，圆与轴相切，设圆方程为，又圆过点，则，可得，故圆的方程为【小问2详解】显然当直线斜率为0时不合题意，设直线将直线与圆联立方程组：，整理得，整理可得，即可得，，化简可得，经验证所求的直线方程为18.（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判断定理可解；（2）取的中点取的中点，得到是二面角的平面角.连接在，中，运用勾股定理逆定理得到.再用圆锥体积公式计算即可;（3）根据第（2）题，可建系，不妨令，求出关键点坐标，求出两个面的法向量，结合向量夹角公式计算即可.【小问1详解】取的中点是的中位线，，又，四边形是平行四边形,，又平面平面.平面.【小问2详解】取的中点是以为斜边的等腰直角三角形，取的中点，底面是等腰梯形，.是二面角的平面角.连接，中，，在中，.，二面角的平面角..【小问3详解】根据第（2）题，二面角的平面角，平面平面，如图，建系，不妨令，则设平面的法向量是，即，令，解得设平面的法向量是，即令，解得设二面角的平面角大小为由图可知二面角的平面角为钝角，故余弦值为.19.（1）