浙江省温州市第二中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省温州市第二中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面的交通标志中，轴对称图形是（）A． B． C． D．2．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（）A．a﹣5＜b﹣5 B． C．a+5＞b+5 D．﹣a＞﹣b3．（3分）对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.54．（3分）若三角形两边长分别是5和8，则第三边长可能是（）A．1 B．3 C．8 D．135．（3分）如图，线段AD与BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，连结AB，CD，不添加辅助线，判定△ABO≌△CDO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，若DE＝8，则线段CE的长度是（）A．4 B．8 C．12 D．168．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．50° B．51° C．52° D．53°9．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，直线EF分别交AC与BC于点D和G，连结AG，若AD＝2，△ABG的周长为9，则△ABC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．1510．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，AD是△ABC的角平分线，E，F分别在AC，AB边上．AF＝4，AE＝6，连结DF，DE．若DE＝DF，则△ABC的面积是（）A． B．24 C．30 D．二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为．12．（4分）命题“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为．13．（4分）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝°．14．（4分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．15．（4分）如图，已知△ABC≌△DAE，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段AC上，BC＝4，DE＝10，则CE的长为．16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则EF的长为．18．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，则△BDE周长的最小值为．三、填空题（本题有6小题，共58分）19．（8分）解下列不等式，并把解表示在数轴上．（1）9x﹣1＜4x+9；（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）．20．（8分）已知：如图，点E，F在线段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠AEB＝40°，求∠AOF的度数．21．（6分）尺规作图问题问题呈现如图，已知直线BC和直线外一点A，连结AB，AC．（1）用无刻度的直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）请根据自己的作法说明作图正确的理由．我的画法我的理由22．（10分）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元．（1）分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价；（2）某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在线段BD上，连结CE，∠1＝∠2，AB＝EC．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠1＝20°，∠ADB＝25°．①求∠DEC的度数．②当，DE＝2时，求△CDE的面积．24．（14分）如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP，BP．将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连结CP'．（1）求证：△APB≌△CP′B．（2）如图2，连结CP，PP′．①当∠APB＝130°，且△CP′P为等腰三角形时，求出∠CPB的度数．②当PB＝2，AB＝6，且PB∥CP′时，请直接写出点A到点P′的距离．

2024-2025学年浙江省温州市第二中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下面的交通标志中，轴对称图形是（）A． B． C． D．【分析】平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴，据此解答即可．【解答】解：C是轴对称图形，A、B、D不是轴对称图形；故选：C．【点评】此题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（）A．a﹣5＜b﹣5 B． C．a+5＞b+5 D．﹣a＞﹣b【分析】根据不等式的性质逐一判断即可得到答案．【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣5＞b﹣5，故此选项不符合题意；B、∵a＞b，∴，故此选项不符合题意；C、∵a＞b，∴a+5＞b+5，故此选项符合题意；D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．3．（3分）对于命题“如果x2＞0，那么x＞0．”能够说明它是假命题的反例是（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．【解答】解：当x＝﹣1时，满足条件x2＞0，但不能得出x＞0的结论，故能说明命题“如果x2＞0，那么x＞0”是假命题的反例是x＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．（3分）若三角形两边长分别是5和8，则第三边长可能是（）A．1 B．3 C．8 D．13【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系得：8﹣5＜x＜8+5，解得：3＜x＜13，故第三边长可能是8．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，只要掌握三角形的三边关系定理即可．5．（3分）如图，线段AD与BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，连结AB，CD，不添加辅助线，判定△ABO≌△CDO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据OA＝OC，∠AOB＝∠DOC，OB＝OD可依据“SAS”判定△ABO≌△CDO，由此可得出答案．【解答】解：∵AD与BC相交于点O，∴∠AOB＝∠DOC在△AOB和△COD中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据三角形内角和定理及∠C＝90°可求出∠A+∠B＝90°，结合已知条件∠B＝2∠A，即可求出∠A的度数．【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠B＝2∠A，∴∠A+2∠A＝90°，∴∠A＝30°，故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，若DE＝8，则线段CE的长度是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】先根据∠ACB的平分线CD交AB于点D得出∠ACD＝∠BCD，再由DE∥BC得出∠BCD＝∠EDC，故可得出∠EDC＝∠ACD，进而得出结论．【解答】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE＝8，∴∠ACD＝∠BCD，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACD，∴CE＝DE＝8．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．50° B．51° C．52° D．53°【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD，从而可得∠A＝∠DCA＝26°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝AB，∴∠A＝∠DCA＝26°，∵∠BDC是△ACD的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝52°，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，直线EF分别交AC与BC于点D和G，连结AG，若AD＝2，△ABG的周长为9，则△ABC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，则AG＝CG，AC＝2AD＝4，进而可得AB+BC＝9，再根据△ABC的周长为AB+BC+AC可得答案．【解答】解：由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，∴AG＝CG，AC＝2AD＝4．∵△ABG的周长为9，∴AB+BG+AG＝AB+BG+CG＝AB+BC＝9，∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝9+4＝13．故选：B．【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，AD是△ABC的角平分线，E，F分别在AC，AB边上．AF＝4，AE＝6，连结DF，DE．若DE＝DF，则△ABC的面积是（）A． B．24 C．30 D．【分析】过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质推出DH＝DB，判定Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），得到EH＝BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），推出AH＝AB，得到BF+4＝6﹣BF，求出BF＝1，得到AB＝AF+BF＝5，由勾股定理求出BC＝＝，即可求出△ABC的面积＝AB•BC＝．【解答】解：过D作DH⊥AC于H，∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，∵AD是△ABC的角平分线，∴DH＝DB，∵DE＝DF，∴Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），∴EH＝BF，∵DH＝DB，DA＝DA，∴Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），∴AH＝AB，∵AF＝4，AE＝6，∴BF+4＝6﹣EH＝6﹣BF，∴BF＝1，∴AB＝AF+BF＝5，∴BC＝＝＝，∴△ABC的面积＝AB•BC＝．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是判定Rt△DEH≌Rt△DFB（HL），推出EH＝BF，判定Rt△DHA≌Rt△DBA（HL），推出AH＝AB．二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为3x﹣5≤9．【分析】根据“x的3倍与5的差不大于9”，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：根据题意得：3x﹣5≤9．故答案为：3x﹣5≤9．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12．（4分）命题“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为如果|a|＝1，那么a＝1．【分析】把原命题的条件和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题，由此即可得到答案．【解答】解：“如果a＝1，那么|a|＝1．”的逆命题为：如果|a|＝1，那么a＝1．故答案为：如果|a|＝1，那么a＝1．【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握由原命题得到逆命题的方法．13．（4分）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝60°．【分析】根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝60°，故答案为：60．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．14．（4分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是10或11．【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．15．（4分）如图，已知△ABC≌△DAE，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段AC上，BC＝4，DE＝10，则CE的长为6．【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DAE，∴AC＝DE＝10，AE＝BC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为2．【分析】根据正方形的面积和勾股定理，得出AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，由此得到BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，再根据BD2＝5，得出CD2＝5﹣3＝2，得到第四个正方形的面积．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，∴BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，∵BD2＝5，∴CD2＝5﹣3＝2，∴第四个正方形的面积为2，故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理，利用正方形的面积是解题的关键．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图得到射线BD，BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则EF的长为．【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BEC＝90°，CE＝AE＝1，然后在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BC＝，再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴∠BEC＝90°，CE＝AE＝AC＝1，在Rt△BEC中，BE＝2，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．18．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，则△BDE周长的最小值为9．【分析】连接OB，OC，作OE⊥DM交DE与M点，先根据等边三角形的性质判定△BOD≌△COE，得到OD＝OE，BD＝EC，得出△BDE周长为6+OE，将问题转化为求OE最小值，当OE⊥BC时，OE最小，利用勾股定理求出OE值即可．【解答】解：连接OB，OC，作OE⊥DM交DE与M点，如图：∵等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，∴∠B＝∠C，OC＝OB，∴∠OBD＝∠OCE，∴∠BOC＝∠DOE＝120°，∴∠BOE+∠COE＝∠BOE+∠BOD，∴∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（ASA），∴OD＝OE，BD＝EC，∴∠ODE＝∠OED＝30°，∴OM＝OE，EM＝OE，∴△BDE周长BE+BD+DE＝BE+EC+DE＝6+2EM＝6+OE，∴当OE取最小值时△BDE周长最小，∴当OE⊥BC时，OE最小，△BDE周长最小，当OE⊥BC时，∠OBE＝∠B＝30°，BE＝BC＝3，∴OE＝，∴6+OE＝9，∴△BDE周长最小值为9．故答案为：9．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，图形的旋转，三角形全等的判定，勾股定理，动点问题，熟练掌握等边三角形的性质时解答此题的关键．三、填空题（本题有6小题，共58分）19．（8分）解下列不等式，并把解表示在数轴上．（1）9x﹣1＜4x+9；（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）．【分析】（1）根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集；（2）根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集．【解答】解：（1）9x﹣1＜4x+9，移项，得：9x﹣4x＜9+1，合并同类项，得：5x＜10，系数化为1，得：x＜2，解在数轴上的表示如图：；（2）﹣3x﹣5≤2（2+3x）去括号，得：﹣3x﹣5≤4+6x，移项，得：﹣3x﹣6x≤4+5，合并同类项，得：﹣9x≤9，系数化为1，得：x≥﹣1，解在数轴上的表示如图：．【点评】本题考查一元一次不等式的解法和解集在数轴上的表示，用到了数形结合思想，应注意点的表示用空心还是实心圆圈．20．（8分）已知：如图，点E，F在线段BC上，BF＝CE，AB＝DC，AE＝DF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠AEB＝40°，求∠AOF的度数．【分析】（1）利用SSS即可证明△ABE≌△DCF；（2）根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．【解答】（1）证明：∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS）；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC＝40°，∴∠AOF＝∠AEB+∠DFC＝80°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．21．（6分）尺规作图问题问题呈现如图，已知直线BC和直线外一点A，连结AB，AC．（1）用无刻度的直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）请根据自己的作法说明作图正确的理由．我的画法我的理由【分析】以A为圆心，AC为半径作弧就熬BC于点D，以A为圆心，AB为半径作弧交BC于点E，连接AD，AE即可．【解答】解：图形如图所示：理由：过点A作AH⊥CD于点H．由作图可知AC＝AD，AB＝AE，∴CH＝DH，BH＝EH，∴DE＝BC，∠ACD＝∠ADC，∠ABE＝∠AEB，∵∠ACD＝∠ABE+∠BAC，∠ADC＝∠AEB+∠DAE，∴∠EAD＝∠BAC．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（10分）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元．（1）分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价；（2）某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？【分析】（1）设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元，根据1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买（10﹣m）瓶“岩灰”，根据预算资金不超过400元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元，由题意等：，解得：，答：“岩灰”的销售单价为30元，“石绿”的销售单价为70元；（2）设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买（10﹣m）瓶“岩灰”，由题意得：70m+30（10﹣m）≤400，解得：m≤2.5，∵m为正整数，∴m的最大值为2，答：该同学最多可以购买2瓶“石绿”．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在线段BD上，连结CE，∠1＝∠2，AB＝EC．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠1＝20°，∠ADB＝25°．①求∠DEC的度数．②当，DE＝2时，求△CDE的面积．【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADB＝∠EBC，而∠1＝∠2，AB＝EC，即可根据“AAS”证明△ABD≌△ECB；（2）①由∠ADB＝∠EBC＝25°，∠1＝∠2＝20°，求得∠DEC＝∠EBC+∠2＝45°；②作DF⊥EC于点F，则∠DFE＝90°，所以∠FDE＝∠DEC＝45°，则EF＝DF，由DE＝DF＝2，求得DF＝，而AB＝EC＝，所以S△CDE＝EC•DF＝．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）．（2）解：①∵∠ADB＝∠EBC＝25°，∠1＝∠2＝20°，∴∠DEC＝∠EBC+∠2＝25°+20°＝45°，∴∠DEC的度数是45°．②作DF⊥EC于点F，则∠DFE＝90°，∴∠FDE＝∠DEC＝45°，∴EF＝DF，∵DE＝＝DF＝2，∴DF＝，∵AB＝EC＝，∴S△CDE＝EC•DF＝××＝，∴△CDE的面积是．【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24．（14分）如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP，BP．将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连结CP'．（1）求证：△APB≌△C