山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.下列四个命题，其中真命题是（）A.若向量与向量共面，则存在实数x，y，使B.若直线的方向向量，平面的法向量为，则直线C.若，则点到直线AC的距离为2D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则3.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若是对立事件，则B.若A，B是互斥事件，，则C.若是独立事件，，则D.若，且，则是独立事件4.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.[3，5]5.为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（）学生数平均分方差男生6804女生4752A.77.5，9.2 B.77.5，11 C.78，9.2 D.78，116.已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（）A.7 B.8 C.9 D.107.已知椭圆的左焦点和下顶点A，直线交椭圆于两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知直线与轴和轴分别交于A，B两点，且，动点满足，则当k，m变化时，点到点的距离的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分．有选错的得0分．9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（）A. B.与为对立事件 C.与相互独立 D.与相互独立10.如图，在平行六面体中，已知，为棱上一点，且，则（）A. B.直线与AC所成角的余弦值为C.直线与平面所成角为 D.平面11.圆，圆，动圆与圆内切于点，与圆外切于点，圆心的轨迹为曲线C，则（）A.圆心的轨迹方程为 B.的最大值为C.的最大值为2 D.曲线在点处的切线与线段EF垂直三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆相交于两点，则______.13.正方体的棱长为3，P是平面上一动点，是棱CD上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是______.14.设为坐标原点，为粗圆的左、右焦点，为椭圆第二象限上的一点.若，交线段于点，则的取值范围为______四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人.心理测评评价标准如下表：调查评分心理等级（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率．16.（本题满分15分）已知圆的圆心在轴上，且经过点（1）求圆的标准方程；（2）若圆上存在一点满足的面积为5，求直线AP的方程.17.（本题满分15分）如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且.（1）求证：；（2）求平面SBC与平面ACP所成角的正弦值；（3）侧棱SA上是否存在一点，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由.18.（本题满分17分）已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；（3）过点（1，0）作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上.

山东省青岛第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题答案1.【答案】A，【详解】，由此可知该直线的斜率为，所以直线的倾斜角为2.【答案】C，【分析】对于A，举反例排除即可；对于BC，利用空间向量判断线面关系即可；对于D，根据空间中点到直线的距离公式求解判断即可.【详解】对于A，若为非零向量，且与不共线，而与共线，则不存在实数x，y，使成立，故A错误；对于B，由于，则，所以或，故B错误；对于C，因为，所以，所以，所以点到直线AC的距离为，故C正确.对于D，由于，则，所以或，故D错误；故选：C．3.【答案】D，【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.【详解】对于A，若A，B是对立事件，则错误；对于B，若A，B是互斥事件，，则错误；对于C，若A，B是独立事件，则是独立事件，而，则错误；对于D，，则，又，则A，B是独立事件，D正确.故选：Ｄ4.【答案】C，【详解】如图所示设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为，则，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.故选：C5.C，【分析】由均值和方差公式直接计算.【详解】可估计全班学生数学的平均分为，方差为.故选：C.6.【答案】D，【详解】圆，则圆心，圆，则圆心，两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离，圆心到直线l的距离，则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，圆心关于直线的对称点为，所以，当且仅当三点共线时等号成立；即的最小值为．故选：D.7.【答案】D，【详解】E为MN的中点，即，得，所以，由F恰好为的重心，则，所以，则，平方后得，即，解得：或，由条件，所以.故选：D8.【答案】B，【解答过程】由，得，由，得，由，得，设，则，即，因此点C的轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，即有，则代入，整理得：，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点C到点的距离的最大值，所以最大值为.故选：B.9.AC，【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；其中事件“”包含的样本点有：共6个；事件，包含的样本点有：，共18个，事件，包含的样本点有：，，共7个，对于，故A正确；对于包含的样本点，所以A与C不为对立事件，故B错误；对于C，事件AB包含的样本点有共3个，所以，所以，所以A与相互独立，故C正确；对于D，事件BC包含的样本点有：共4个，而，从而，所以与不相互独立，故D错误．故选：AC.10.【答案】ABC，【分析】通过建立空间的一组基底，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A项；利用空间向量的夹角公式计算判断B项；利用向量的数量积是否为0判断C项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D项.【详解】不妨设，则.对于A，因，故，故，故A正确；对于B，因，则，设直线与AC所成角为，则，故B正确；对于C；对于D，因，即与不垂直，故不与平面垂直，故D错误故选：ABC.11.【答案】ACD，【详解】对于A：设动圆M的半径为，由条件得，则，去掉E，F，M重合的点），则圆心M的轨迹方程为，故A正确；对于B：由图可知与互补，当点为椭圆短轴端点时，最大，最小，即的最大，故B错误；对于C.，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D：设点，当切线斜率不存在时，垂直；当切线斜率存在时，则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为，又，所以，则，解得，所以，又，因为，所以，所以，所以，即曲线在点处的切线与线段EF垂直，故D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】4，【详解】由圆与圆，两圆相减得公共弦AB所在直线方程为：，有圆，可得圆心，半径，所以圆心到直线AB的距离，所以13.【答案】3，【详解】由条件先证明，结合面积关系可得，在平面上建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值.【详解】由已知平面平面，所以，因为平面平面，所以，所以，又，所以，又的面积是面积的4倍，可得．14.【答案】【详解】设点，由题，，设，则，可得，则，由，可得：，又P在椭圆上，则，所以，且在单调递减，所以，在单调递减，时，时，，故，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）；（2）．【分析】（1）由题意，根据调查评分在中的市民人数以及频率，列出等式即可求出的值，根据频率之和为1，列出等式即可求出的值；（2）根据频率分布直方图所给信息以及分层抽样的定义得到调查评分在和所抽取的人数，结合相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率进行求解即可．【详解】（1）易知调查评分在中的市民有200人，而评分在中的频率为，所以，而，解得.（2）因为评分在中的人数是评分在中人数的一半，若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，此时评分在内的有1人，在内的有2人，记“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”为事件A，因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以，故则在抽取的3人中，经心理疏导后至少一人的心理等级转为的概率为.16.【详解】（1）由题意，设圆的标准方程为，代入点，解之得，故圆的标准方程为.（2）解法一：由可得斜率为，故直线AB的方程为，由得点到直线AB的距离，设，则，解得或，即或，解法二：因为直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，即，，设点到直线AB的距离为，则由得，则将直线AB沿着与AB垂直的方向平移个单位即可，此时该平行线与圆的交点即为点，设该平行线的方程为，则，解得或，当，联立，解得或，即或解法三：同解法一得到直线AB的方程为，点到直线AB的距离，设，其中，则有，联立，解得或，即或当时，直线AP的方程为，当时，直线AP的方程为17.【答案】（1）证明见解析（2）（3）2【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得面ABCD，即，从而利用线面垂直的判定定理可得面SBD，由此得；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长度，从而得到各点的坐标，再求出与平面ACP的一个法向量为，利用向量的数量积运算即可求得直线SC与平面ACP所成角的正弦值；（3）假设存在，且，由此求得，再由平面PAC得，从而求得，由此可得的值.【详解】（1）连结，连结SO，如图，因为四棱锥是正四棱锥，所以面ABCD，又面ABCD，所以，在正方形ABCD中，，又面SBD，所以面SBD，因为面SBD，所以.（2）由（1）知BD，AC，SO两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由平面几何知识易知，，，所以，则，，因为，所以，故，设平面ACP的一个法向量为，则，即，令则，故，同理面的法向量，设面SBC与平面ACP所成角为，则，所以面SBC与平面ACP所成角的正弦值为.（3）假设SA上存在点满足题意，不妨设，，则，因为平面PAC，所以，即，故，所以，则，所以18.【答案】（1）；（2）定值，；（3）【详解】（1）根据题意可得，，又，则，所以椭圆方程为（2）设过点A的直线为，联立，消去整理得，易得，则，所以.所以直线BM与直线BN的斜率之积为定值.（3）由题意可知：直线的斜率不为0，设直线CD的方程为的方程联立得，消去可得，设，则，，即，直线，直线，联立上述两方程消去可得，整理得，因为即可得，由，得，综上所述，动点在定直线上.19.【答案】（1），（2）（i）定点证明见详解；（ii）【详解】（1）由椭圆定义可知，所以的周长为，所以，又