上海市松江区上海师范大学附属外国语中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

上海师范大学附属外国语中学2024学年高二第一学期数学期中考试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12每题5分，共54分）1.点到直线的距离是______．【答案】【解析】【分析】根据点到直线距离公式直接计算.由已知得，故答案为.2.过点斜率为的直线的斜截式方程是_______.【答案】【解析】【分析】根据直线的斜截式方程的表达式直接求解即可.由题知，该直线在轴上截距为，则该直线斜截式方程为.故答案为：3.椭圆的长轴长为_______.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的性质计算即可.由椭圆方程可知椭圆的长轴长.故答案为：4.抛物线的焦点坐标为_____.【答案】【解析】试题分析：根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标．解：抛物线方程中p=2，∴抛物线焦点坐标为（-1，0）故填写考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．5.直线经过点和，则直线的倾斜角为______【答案】##【解析】【分析】先利用直线的斜率公式求出斜率，再求其倾斜角.由题意，得直线的斜率为，又所以直线的倾斜角为.故答案为：.6.双曲线的两条渐近线的夹角为______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解.由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，解得，根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为.故答案.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.7.若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义列出不等式求解即可.依题意得4-m>0m>0解得且，故实数的取值范围为,故答案为：8.若圆：关于直线对称，则实数_______.【答案】【解析】【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值.由题知，直线过圆圆心，则，解得.故答案为：9.设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则_______.【答案】【解析】【分析】利用双曲线的定义与性质计算即可.由双曲线方程可知，双曲线的右顶点，显然，所以P在双曲线左支上，故.故答案为：10.已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为________.【答案】##【解析】【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解.因为椭圆，则，所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则，由椭圆的定义得，，

所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值，此时．故答案为：11.设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.设，，则，，即，，即，当且仅当时等号成立，故，即，.故答案为：12.已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.①存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；②存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④不存在常数，使上所有点到两点距离差绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）【答案】②④【解析】【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：，整理，得：，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：，则，解得：，符合；对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、选择题（13-14题每题1分，15-16每题5分，共18分）13.“”是“直线与垂直”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：两直线垂直，所以，所以是充分不必要条件.考点：充要条件.14.已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【解析】【分析】求出直线过的定点，即可得答案.解：因为线的方程是，即为，令，解得，即直线过定点,所以直线一定经过第三象限.故选：C15.已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.抛物线的准线方程为，因为点在抛物线上，且，所以，解得.故选：C.16.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.三、解答题（14+14+14+18+18=78分）17.已知直线．（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；（2）直线与直线平行，求与之间的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线在两坐标轴上截距的定义直接可得；（2）由两直线平行可得，再根据平行线间距离公式可得解.【小问1详解】直线，令，解得，所以；【小问2详解】直线与直线平行可知，解得，所以，即，满足条件，所以直线与直线间距离.18.已知圆C：，其中．（1）已知圆C与圆：外切，求m的值；（2）如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解方程即得解；（2）解方程即得解.【小问1详解】解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．【小问2详解】解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．19已知，双曲线.（1）若点在上，求的焦点坐标；（2）若，直线与相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由点在双曲线上，将坐标值代入方程求a值，进而根据所得双曲线方程写出焦点坐标；（2）由题设联立方程得，设，结合韦达定理及中点坐标公式，可得，即可求k值，应用判别式大于0确定k值即可.（1）由在上，有，则，故，所以其焦点为；（2）由题设知：，则直线方程代入消y，整理得，设，则且，∵线段AB中点的横坐标为1，∴，即，得，而，∴.【点睛】关键点点睛：（1）由点在曲线上，应用待定系数法求参数，进而写出焦点坐标；（2）根据直线与双曲线的关系，应用韦达定理、中点坐标公式，结合判别式的符号确定参数值.20.已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.（1）求双曲线C的方程；（2）若，求的大小；（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知；（2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知；（3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在.【小问1详解】由题意可知：，解得，所以双曲线的方程为：；【小问2详解】因为，所以，且，所以，所以的大小为；【小问3详解】假设存在满足要求，当的斜率不存在时，，由解得，所以，所以不垂直，故不满足要求；当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，设，Ax1联立可得，且，即，所以，所以，所以，所以，所以也不满足要求，故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算.21.已知椭圆：与抛物线：y2=2pxp>0在第一象限交于点，、分别为的左、右顶点.（1）若，且椭圆的焦距为，求的准线方程；（2）设点F1,0是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于、两点，与相交于、两点，，若直线的斜率为，求的值；（3）若，设直线、直线分别与直线交于、两点，与的面积分别为，，若，求点的坐标.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据焦距和求出椭圆方程和，从而得到，求出准线方程；（2）先得到，和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从而分两向量方向相同和相反求出答案；（3）由三点共线得到和，从而表达出，得到，结合，构造出方程进一步求出点的坐标.【小问1详解】由题意得，故，则，解得，故椭圆：，因为在第一象限，，有，解得，所以，将其代入y2=2pxp>0中，即，解得故的准线方程为，；【小问2