广东省深圳市盐田高级中学2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

广东省深圳市盐田高级中学2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（

）A． B． C． D．2．若直线的方程为，则此直线必不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．24．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．5．已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（

）A． B．C． D．6．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．7．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（

）A． B．C． D．8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．点在圆上，点在圆上，则（

）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为10．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（

）A．B．直线与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．存在实数使得11．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（

）A．曲线的方程为：B．的最小值为1C．为坐标原点，的最小值为D．为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则三、填空题（本大题共3小题）12．若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则平面与直线所成角的正弦值为．13．当点到直线l：距离的最大值时，直线l的一般式方程是．14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，.

(1)试用表示向量；(2)求与的夹角.16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．(1)求的离心率；(2)射线与交于点，且，求的周长．17．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，O为线段的中点且底面，，，E是的中点.(1)证明：平面；(2)点M为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.18．已知圆C：与圆：.(1)求C与相交所得公共弦长；(2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求19．在平面直角坐标系中，已知动点到直线的距离与点到点的距离的比是.(1)求动点P的轨迹方程E；(2)若轨迹E与x轴的交点分别为.过点的直线分别与轨迹相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.

参考答案1．【答案】A【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是．故选：A.2．【答案】A【详解】由可得，，即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数，故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.故选：A.3．【答案】C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值．【详解】向量若，则，．故选C．4．【答案】B【详解】当直线斜率不存在时，由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，即，代入椭圆的方程化简得，所以，解得，故直线方程为，即.故选：B.5．【答案】C【详解】设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以①，因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.故选:C.6．【答案】D【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为，则，所以，两式相减可得，令，解得，则平面的一个法向量为，则点到平面的距离为.故选：D.

7．【答案】A【详解】设直线的倾斜角为，则，，则直线的倾斜角为，故其斜率，而直线过点，则直线的点斜式方程为，即直线的方程是.故选：A8．【答案】A【分析】设，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出的关系，化简可得的关系，最后根据离心率的定义求出结果.【详解】设，因为，为的中点，所以，，由椭圆定义可得，,所以，.又因为，为的中点，所以，，设椭圆的半焦距为，因为，，所以，，得到，所以，，则椭圆C的离心率，故选A.9．【答案】ABC【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.【详解】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC10．【答案】BD【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，对于A，，故与不垂直，故A错误；对于B，，所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C，由上，所以，所以即，又，所以，因为，又由正方体性质可知平面即平面，所以，故C错误；对于D，若存在实数使得，则，所以，所以，故D正确.故选：BD.11．【答案】ACD【详解】对A，设，则，即，化简得，故A正确；对B，设椭圆另一个焦点为，如图，由O为和中点可知四边形为平行四边形，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足，所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值，显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确；对D，设，则，所以，故D正确.故选：ACD12．【答案】【详解】设与所成角为,设向量与的夹角为，平面α的一个法向量，直线的一个方向向量为，.故答案为：.13．【答案】【详解】解：∵直线l：，∴可将直线方程变形为，∴，解得，，由此可得直线l恒过点，所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．∵，∴直线l的斜率为，∴，∴，∴直线l的一般方程为．故答案为：．14．【答案】【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故，连接，因为为内心，故为角平分线，由角平分线性质，有，故，故答案为：，.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）；（2）因为，，，所以，所以，因为，所以与的夹角为.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率；（2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长．【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以离心率；（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，射线的方程为，联立，整理可得，解得或，则，即，所以，解得，则，所以的周长．

17．【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）因为，所以，O为线段的中点且，故，连接，又.所以四边形为正方形，所以，因为底面，底面，所以，，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，D0,1,0，因为E是的中点，所以，则，，，设平面的一个法向量n1=则，即，取，则，故，又因为平面，所以平面.（2）由题意，知底面的一个法向量为，因为，且BC=0,1,0，，所以.因为，设平面的一个法向量为，则，即，取，所以又平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】(1)2(2)【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为整理得，圆心到直线的距离，所以所求弦长为；（2）由题设可知直线l的方程为，设Px1,将代入方程，整理得，所以，，，因为，解得k=1，经检验，直线与圆有交点，所以直线l的方程为，故圆心C在直线l上，所以19．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据轨迹法，结合条件，即可求解；（2）