四川省广元市川师大万达中学2024−2025学年高二上学期9月月考数学试卷含答案

四川省广元市川师大万达中学2024−2025学年高二上学期9月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（

）A． B． C．2 D．2．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.63．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（

）A． B． C． D．4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．已知向量，，，若，，共面，则（

）A．4 B．2 C．3 D．16．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（

）A． B． C． D．67．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（）．A． B．C． D．4a二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法不正确的是（

）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为10．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为 D．的最大值为411．已知四面体满足，，则（

）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．点为直线上的动点，到距离的最小值为D．二面角平面角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为.13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数．14．在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.16．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

(1)这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.(3)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;（2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;（3）“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．(1)求证：；(2)若，求三棱台的体积；(3)若到平面的距离为，求的值．

参考答案1．【答案】A【详解】点关于z轴的对称点为B，所以.故选：A.2．【答案】C【解析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个；则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个；所以这两个数都是奇数的概率是.故选：C.3．【答案】C【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，所以.故选：C4．【答案】D【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D5．【答案】D【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，即，即，解得.故选：D6．【答案】C【详解】因为，所以，从而，即的长为．故选：C.7．【答案】A【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＝1.8．【答案】A【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，设，则，

∵，∴，可得；当时，，当时，，取，，，，连结，，，，则，，∴四边形为矩形，则，，即，，又和为平面中的两条相交直线，∴平面，又，，∴为的中点，则平面，为使，必有点平面，又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，又，，∴，则点的轨迹不是正方形，则矩形的周长为．故选：A9．【答案】ABC【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.故选：ABC.10．【答案】AC【详解】对于A，若，且，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，化简得，因为，所以无实数解，故B错误；对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选：AC.11．【答案】BCD【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为，则，所以解得，建立如图所示的空间直角坐标系，则,故故，所以直线与所成的角为，A错误，由于，故，直线与所成的角为，B正确，对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离的最小，且最小值为长方体的高，即为，C正确，对于D，取中点，连接,由于，，所以,故为所求角，,故，故D正确.故选：BCD12．【答案】4【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.故答案为：4.13．【答案】2【详解】因为，又，所以，，，．

故答案为：.14．【答案】【详解】记在底面内的投影为，则底面，又、平面，故、，则，，又，则，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，建立如下图所示的空间直角坐标系：设，，，所以，所以，设直线与直线的所成角为，所以.故答案为：.15．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，A10,0,4.

因为，分别为的中点，所以，，则，，，设平面的法向量为m=x,y,z则，即，令，则有，，即，因为，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以与平面所成角的正弦值为.16．【答案】(1)，(2)，，(3)【详解】（1）根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，则这一组的频率为，其频数为；（2）这次竞赛的平均数为，一组的频率最大，人数最多，则众数为，分左右两侧的频率均为，则中位数为；（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，因为之间的人数为，设为､､､，之间有人，设为､，从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，则.17．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()=P()P()==，P(M1)=P(N1)=P()=P()+P()=+=，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)==，（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)=P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)=P(M1N2)+P(M2N1)=.+.=.（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.18．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）证明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因为，且，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，取，则，，所以，，，设平面的法向量为，，，则，即，取，则，，所以，，，因为平面和平面夹角的余弦值为，所以，整理得，，即，解得或，因为，所以，故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时．19．【答案】(1)证明见解析；(2)(3)【详解】（1）取的中点为，连接；如下图所示：易知平面平面，且平面平面，平面平面；所以，又因为，可得四边形为等腰梯形，且分别为的中点，所以，因为，所以，易知，