四川省泸县普通高中共同体2024−2025学年高二上学期期中联合考试数学试题含答案

四川省泸县普通高中共同体2024−2025学年高二上学期期中联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二200人、高三160人中，抽取60人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（

）A．-2 B．-1 C．1 D．24．已知空间中三点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．5．设m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若．则D．若，则6．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（

）．A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B．从2日到5日空气质量越来越好C．这14天中空气质量指数的中位数是214D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日7．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．向量与向量的夹角为B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量共面10．下列说法正确的是（

）A．从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为则B．若，则事件A与事件B相互独立C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D．若，，且事件A与事件B相互独立，则11．已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（

）A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B．若三棱锥的体积是定值C．若，有且仅有一个点P，使得平面D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差.13．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为.14．如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是.四、解答题（本大题共5小题）15．《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；(2)该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.16．记的内角，，所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若是的中线，且，的面积为，求的周长．17．某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.18．如图，且，，且，且，平面，.(1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：；(2)证明:(3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由.19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：(1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；(2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.（ⅰ）若，求;（ⅱ）若，求的最小值.

参考答案1．【答案】B【详解】高一抽取的人数分别，故选B．2．【答案】B【详解】由，可得，复数在复平面内的对应点为，则该点位于第二象限.故选：B.3．【答案】D【分析】先由图得出用表示的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.【详解】根据网格图中的的大小与方向，易于得到，由向量与共线，可得，解得：.故选D.4．【答案】C【详解】因为，所以，则点到直线的距离为.故选：C.5．【答案】A【分析】对于A,利用平面的法向量可判断A;对于B，判断出m,n可能是异面直线即可；对于C,判断出m,n可能是平行直线，即可判断C；对于D，判断两平面有可能相交，即可判断D.【详解】对于A，可在m上取向量作为平面的法向量，在n上取向量作为平面的法向量，则由可知，故，A正确；对于B，若，则m,n可能是异面直线，故B错误；对于C，若，则m,n可能是平行直线，不一定垂直，故C错误；对于D，若，则可能相交，即当m,n都和两平面的交线平行时，即有，故不一定平行，故D错误，故选：A6．【答案】B【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误；D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；故选：B.7．【答案】B【详解】在中，，，，由余弦定理可得，即，所以，设的外接圆半径为，则，所以，平面，且，设三棱锥外接球半径为，则，即，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：B．8．【答案】D【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选D.9．【答案】BCD【详解】因为，所以，可得，则向量与向量的夹角为，故A错误；因为，，所以，即B正确；根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以C正确；由向量，可知，向量与向量共面，所以D正确．故选：BCD.10．【答案】ABD【详解】对于A，根据抽样方法的使用规则，可知A正确；对于B，，故B正确；对于C，设事件{两次均为中}={中枪次数为}、事件{至多中一次}={中枪的次数为}，由，则事件包含事件，故C错误；对于D，由，则，因为事件与事件相互独立，所以，故D正确.故选：ABD.11．【答案】BD【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，连接，则，又且，即为平行四边形，所以，所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，，，故，故A错误；B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，由平面，平面，则面平面，由，平面平面，平面，所以平面，平面，则，同理可证：，由，,平面，故平面，而面平面，要使平面，则必在面内，显然平面，故C错误；D：由知：在（含端点）上移动，如图以为原点，分别为轴建系，则，，，则，设，则，所以，令，当，即时，，此时直线和所成角是；当，即时，则，当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确.故选BD.12．【答案】/【详解】因为平均数，所以方差.故答案为：13．【答案】【分析】结合圆锥的几何特征，分别求出，最后应用圆锥体积公式计算.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，所以，所以圆锥的体积为.故答案为：14．【答案】【详解】设锐二面角的平面角为，，则，则.故答案为：15．【答案】(1)平均数76.2；第57百分位数79；(2).【详解】（1）由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.测试成绩落在区间的频率为，落在区间的频率为，所以设第57百分位数为a，有，解得；（2）由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，，，共10种，其中“分别落在区间和”有6种，所以.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∵，∴.即，∵，∴.∴，即.（2）∵由题意得，∴.∵是的中线，∴CD=∴，∴，，由余弦定理得，∴.∴的周长为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,则,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.（2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.①比分为2:1的概率为.②比分为2:2的概率为.③比分为3:2的概率为.综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为【详解】（1）因为，，所以，又平面，平面，所以面，又平面，平面平面，所以.（2）因为且，所以四边形ADGE为平行四边形，又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE.因为平面，平面，所以，又，平面，所以CD⊥面，又面，所以，又，平面，所以面，又面，所以.（3）由于，，，平面，，则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图，于是，，设平面ABE的法向量为，则，，令，得，假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为.设，，，解得：.所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为.19．【答案】(1)；(2)（ⅰ）;（ⅱ）.【分析】(1)运用费马点定义，结合等边三角形性质可解；(2)（ⅰ）由正弦定理得，由费马点定义可知，，结合得，再用数量积可解；（ⅱ）设,可以推得，则，由余弦定理和勾股定理，得到