湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题含答案

湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（

）A． B．C． D．2．若直线与直线平行，则的值为（

）A． B．2 C． D．3．近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（

）A． B． C． D．4．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（

）A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖5．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．6．如图所示，在平行六面体中，，则的长为（

）A． B．C． D．57．已知实数x，y满足，则的取值范围是（

）A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16]8．如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（

）

A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线和圆，则下列选项正确的是（

）A．直线恒过点B．直线与圆相交C．圆与圆有三条公切线D．直线被圆截得的最短弦长为10．柜子里有双不同的鞋子，从中随机地取出只，下列计算结果正确的是（

）A．“取出的鞋成双”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于11．如图，在棱长为2的正方体中，点为线段BD的中点，且点满足，则下列说法正确的是（

）A．若，则平面B．若，则平面C．若，则到平面的距离为D．若时，直线DP与平面所成角为，则三、填空题（本大题共3小题）12．经过两点的直线的方向向量为，则的值为.13．已知空间向量，若共面，则的最小值为.14．由这2024个正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数，取出后把放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数，则的概率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程.16．如图，在四棱锥中，平面为PD的中点.(1)若，证明：；(2)若，求平面ACE和平面ECD的夹角的余弦值.17．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且.(1)求与的值；(2)该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.18．如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.19．已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明其形状；(2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点，（ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】A【详解】关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数，故所求坐标为.故选：A.2．【答案】C【详解】由题设.故选：C3．【答案】D【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是.故选：D.4．【答案】C【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5．【答案】B【详解】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为.故选：B6．【答案】B【详解】由题设，所以，所以.故选：B7．【答案】C【详解】将化为，即圆心为，半径为3，由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1，又在圆内，所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是.故选：C8．【答案】D【详解】若为正方形的中心，由题设知，所以，且，所以，即，所以，则，则，所以三棱锥的体积为.

故选：D9．【答案】ABC【详解】对于A，由直线的方程，当时，，可知直线恒经过定点，故A正确；对于B，因为直线恒经过定点，且，定点在圆内，所以直线与圆相交，故B正确；对于C，由圆的方程，可得圆心，半径，又由直线，圆，圆心，半径，此时，所以圆与圆相外切，有三条公切线，故C正确；对于D，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故D错误，故选：ABC.10．【答案】BC【详解】记双不同的鞋子按左右为，随机取只的样本空间为，共种，则“取出的鞋成双”的概率等于，A错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于，D错.故选：BC11．【答案】ABD【详解】A：，即重合，故即为，又，即，由面，面，则面，对；B：，易知为的中点，此时，且所以，故，即，根据正方体的结构特征，易得，若为的中点，则，又，则，显然面，面，则，由且在面内，则面，面，则，所以，又都在面内，则面，对；C：，即是面的中心，易知到平面的距离，即为到平面的距离的一半，根据正方体的结构特征，为正四面体，且棱长为，所以到平面的距离，所以到平面的距离为，错；D：，则在线段上运动，如图构建空间直角坐标系，所以，且，故，令面的一个法向量为，且，所以，令，则，故，令，则，所以，，故，对.故选：ABD12．【答案】【详解】由题设.故答案为：13．【答案】/【详解】空间向量，若共面，则可令，则，解之得则二次函数的最小值为，则的最小值为.故答案为：14．【答案】/【详解】即，当时，可以取1，有种取法；当时，可以取1，2，3，有种取法；当时，可以取1，2，3，4，5，有种取法；当时，可以取1，2，3，,，有种取法；当时，可以取1，2，3，,，有种取法；故答案为：15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，，在直线上，设，则，解得，即点坐标为.（2）设，则，解得，即，所以直线的方程为，即.

16．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由平面，平面，则，，而，且都在面内，则面，由面，则，即均为直角三角形，且为斜边，由为PD的中点，故，得证.（2）由题意，易知为直角梯形，且，，且平面，以为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则，所以，若分别是面、面的法向量，则，令，则，且，令，则，所以，故平面ACE和平面ECD的夹角余弦值为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得：，解得：；（2）设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为，则，，，所以.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为.18．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或.【详解】（1）由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，

故，所以，若平面的一个法向量为，则，令，则，显然，而面，所以面；（2）由（1）知：，所以到平面的距离为（3）假设在上存在点，且，，则，直线与平面所成的角为，故，所以，即，可得或，时，，则，时，，则，综上，长为或.19．【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆；(2)（ⅰ）证明见解析，定点为；（ⅱ）存在