广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷含答案

2024学年第一学期期中考试天天向上联盟联考高二年级数学科试题试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分.考试时间为120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的，答卷无效.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角关系即可求得.直线的斜率为2，两直线垂直，故直线的斜率，即.故选：D．2.圆

被轴所截得的弦长为（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的弦长公式即可求解.圆心和半径分别为，，因此圆被轴所截得的弦长为，故选：D3.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果．定点，，故，所以；故：，所以，所以点到直线的距离．故选：C．4.已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意求出、，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而得解；解：由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.5.下列说法正确的有（）个①若三点在一条直线上，，，，则.②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为.③圆，Px0,y0为圆上任意一点，④圆与圆外切，则实数的值为1.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用三点共线，斜率相等判断①；分类讨论直线是否过原点，求出直线方程即可判断②；将最大值转化为，求解即可判断③；根据两圆外切求解实数即可判断④.对于①：若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，即，解得，故①错误；对于②：若直线过原点，则方程为；若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意，解得，所以直线方程为，即，综上，直线的方程为或，故②错误；对于③：由知，所以的最大值为，故③错误；对于④：由题知，且，即，解得或，故④错误.故选：A6.如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长.由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，则，，因为是的中点，所以，因为，所以，所以，即线段的长为，故选B.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题.7.已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.三、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出.对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B错误；对于C，假设，则，所以，该方程组无解，故C正确；对于D，因，所以，解得，所以，，所以，故D错误.故选：AC.10.下列结论正确的有（）A.直线关于对称的直线为B.若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为60°C.若直线与直线垂直，则D.双曲线与椭圆有不同的焦点.【答案】BCD【解析】【分析】A选项联立直线方程先求出交点坐标，再在直线取一个点的，求出这个对称点的坐标，两点确定对称直线方程；B选项由斜率确定倾斜角的大小；C表示出两直线斜率，由垂直得到斜率乘积为建立等式，求出的值；D选项求出两个曲线的的值，相同则焦点相同，不同则焦点不同.A选项：联立方程组解得交点坐标为，在直线取点，过点作的垂线，联立方程组解得交点坐标为，∴对称直线为：，化简得：，∴直线关于对称的直线为，A选项错误；B选项：直线倾斜角为，，∴，B选项正确；C选项：，，∵两直线垂直，∴，∴，C选项正确；D选项：，，，D选项正确；故选：BCD11.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）A.在中点时，平面平面B.异面直线所成角的余弦值为C.在同一个球面上D.，则点轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D.对于选项A：取的中点，连接，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因为面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：（1）用普通方法求异面直线所成的角时可以找到与其中一条平行的直线与另一条直线相交所成的角即为异面直线的夹角；（2）证明面面垂直时，通常先证明线面垂直，再证明面面垂直；（3）证明点共球面可先证明点共圆.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，，则实数__________.【答案】【解析】【分析】由求得，再应用数量积的坐标运算即可求得的值.解：因为，所以，即.又因为，，所以，即.故答案为：.13.设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________．【答案】2或【解析】【分析】根据平行线间距离公式即可求解.由题意可得，解得或，故答案为：2或14.已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．【答案】##【解析】【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.设椭圆的左焦点为，连接，，，，由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量：（2）求OE的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用空间向量的线性运算求解即可；（2）应用数量积运算律求出，再求即可.【小问1详解】解：依题意，，即.【小问2详解】解：因为，所以，即OE的长.16.已知直线.（1）求原点到直线l距离的最大值：（2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求；（3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求．【小问1详解】（1）直线可化为，令，解得，，即直线恒过定点；当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；【小问2详解】设直线的方程为，，因为直线过定点，所以，由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，故面积，即面积的最小值为4，此时直线方程为，即．17.已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l.（1）求圆C的标准方程；（2）求切线l的方程.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入点和点，再结合圆心在直线上，列方程解出圆心坐标与半径即可求得圆的标准方程；（2）设出切线斜率求得切线方程，利用点到直线距离等于半径得到直线斜率，从而求得切线方程，当斜率只有一解时需研究斜率不存在的情形.【小问1详解】解：设圆C的标准方程为，圆心为，半径为，依题意可得，解之得，所以圆C的标准方程为.【小问2详解】解：切线斜率存在时，设切线l的斜率为，则切线l的方程为，即，所以，解得，所以切线l的方程为，又因为圆心到直线的距离为，所以直线也为圆圆C的切线.故切线l的方程为和.18.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因为，所以，即，【小问2详解】设平面的法向量为，，所以有，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.【点睛】19.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上.（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，再根据点是椭圆上一点