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文档简介
河北省衡水市武强中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题(本大题共8小题)1.已知点,直线,则点A到直线l的距离为(
)A.1 B.2 C. D.2.设,,向量,,,且,,则(
)A. B. C. D.3.已知直线与直线,若,则(
)A. B.2 C.2或 D.54.如图,在正方体中,是的中点,则异面直线与所成的角的余弦值是(
)A. B. C. D.5.直线被圆所截得的弦长为(
)A. B.1 C. D.26.三棱锥ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则等于(
)A.-2 B.2 C. D.7.椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上的点满足:,且,则(
)A.1 B.C. D.28.直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是(
)A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.下列叙述正确的是(
)A.直线倾斜角的取值范围是B.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率C.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或10.如图,在直三棱柱中,,,D,E,F分别为AC,,AB的中点.则下列结论正确的是(
)A.与EF相交 B.平面DEFC.EF与所成的角为 D.点到平面DEF的距离为11.设椭圆的左右焦点为,,是上的动点,则下列结论正确的是(
)A.离心率B.面积的最大值为C.以线段为直径的圆与直线相切D.的最小值为0三、填空题(本大题共3小题)12.已知直线的方向向量为,平面的法向量为,且,则.13.已知点是椭圆上的一点,分别为椭圆的左、右焦点,已知=120°,且,则椭圆的离心率为.14.已知圆的圆心为,直线(为参数)与该圆相交于、两点,则ΔABC的面积为.四、解答题(本大题共5小题)15.已知直线.(1)若直线过点,且,求直线的方程;(2)若直线,且直线与直线之间的距离为,求直线的方程.16.已知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切,且圆心C在直线2x+y﹣1=0上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过点(0,1),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.17.已知点P是椭圆上一点,点,分别是椭圆的左、右焦点,且,的周长为8.(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求点P的坐标.18.如图,三棱锥中,平面,,.分别为线段上的点,且.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.19.出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan
Distance)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇,是种使用在几何度量空间的几何学用语,用以标明两个点在空间(平面)直角坐标系上的绝对轴距总和.例如:在平面直角坐标系中,若,,两点之间的曼哈顿距离.(1)已知点,,求的值;(2)记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点,直线:,求;(3)已知三维空间内定点,动点P满足,求动点P围成的几何体的表面积.
参考答案1.【答案】C【解析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解:点,直线,则点A到直线l的距离,故选:C.【点睛】点到直线的距离.2.【答案】B【详解】因为,所以即,解得x=0,因为,所以,解得y=-1,所以,,所以.故选:B.3.【答案】A【详解】解:若,则,所以或.当时,重合,不符合题意,所以舍去;当时,符合题意.故选:A4.【答案】A【详解】解:(法一)连接,由题意,,则即为异面直线与所成的角,设正方体的棱长为2,则,则,在中,;(法二)分别以、、为轴、轴和轴,建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,得,2,,,0,,,2,,,2,,,,,,0,,因此,得到,,且,,异面直线与所成的角是锐角或直角,面直线与所成的角的余弦值是,故选:A.5.【答案】C【详解】圆,所以圆心,半径,由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截得的弦长为,故选:C.6.【答案】A【分析】利用向量运算法则结合余弦定理解得.【详解】故选A.7.【答案】C【详解】设,,则,又(1),(2),(1)式平方减去(2)式得:,得:.故选:C.8.【答案】A【详解】因为线分别与轴,轴交于两点,所以,所以,由,可得圆的圆心为,半径为,因为点在圆上,所以圆心到直线的距离为,故到直线的距离的范围为,则.故选:A.9.【答案】ACD【详解】对于选项,由直线倾斜角的定义可知,倾斜角的取值范围是,则正确;对于选项,由直线斜率的定义可知(为直线的倾斜角),当时斜率不存在,则错误;对于选项,由直线斜率的定义可知选项正确;对于选项,当直线与轴垂直时直线的倾斜角为,当直线与轴垂直时直线的倾斜角为,则正确;故选:ACD.10.【答案】BCD【分析】利用异面直线的位置关系,线面平行的判定方法,利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离,对各个选项逐一判断.【详解】对选项A,由图知平面,平面,且由异面直线的定义可知与EF异面,故A错误;对于选项B,在直三棱柱中,
.,F分别是AC,AB的中点,,
.又平面DEF,平面DEF,
平面故B正确;对于选项C,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则0,,0,,2,,0,,2,,0,,0,,0,,1,.1,,0,.,,.与所成的角为,故C正确;对于选项D,设向量y,是平面DEF的一个法向量.0,,1,,由,即,得取,则,0,,设点到平面DEF的距离为d.又2,,,点到平面DEF的距离为,故D正确.故选:BCD【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系,线面平行的判定,异面直线所成角以及点到面的距离,还考查思维能力及综合分析能力,属难题.11.【答案】CD【详解】对于A:由椭圆可知,,,,所以左、右焦点分别为,,离心率,故选项A错误;对于B:,当点与椭圆的上下顶点重合时,面积的最大,所以面积的最大值为,故选项B错误;对于C:以线段为直径的圆的圆心,半径为1,由圆心到直线的距离,所以以线段为直径的圆与直线相切,故选项C正确;对于D:设,,,则的最小值为,故选项D正确;故选:CD.12.【答案】【详解】因为直线的方向向量,平面的法向量,,所以,即,解得,故答案为.13.【答案】【详解】设,由余弦定理知,所以,故填.14.【答案】【详解】由题意可得圆的标准方程为:,直线的直角坐标方程为:,即,则圆心到直线的距离:,由弦长公式可得:,则.15.【答案】(1)(2)或.【分析】(1)根据两直线垂直,斜率之积为,可求得直线的斜率,再由直线的点斜式方程,即可写出直线方程;(2)先根据两直线平行,斜率相等,设出直线的方程为,再根据两平行直线的距离公式即可求出.【详解】(1)因为直线的方程为,所以直线的斜率为.因为,所以直线的斜率为.因为直线过点,所以直线的方程为,即.(2)因为直线与直线之间的距离为,所以可设直线的方程为,所以,解得或.故直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线方程的求法,涉及两直线垂直,平行关系的应用,以及平行直线的距离公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.16.【答案】(1)(x﹣1)2+(y+1)2=2(2)x=0或3x+4y﹣4=0【分析】(1)由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1=0上,可设圆心为C(a,1﹣2a).由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y=2的距离d,然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径,然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,由a的值可确定出圆心坐标及半径,然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.(2)分类讨论,利用圆心到直线的距离为1,即可得出结论.【详解】(1)因为圆心C在直线2x+y﹣1=0上,可设圆心为C(a,1﹣2a).则点C到直线x+y=2的距离d.据题意,d=|AC|,则,解得a=1.所以圆心为C(1,﹣1),半径r=d,则所求圆的方程是(x﹣1)2+(y+1)2=2.(2)k不存在时,x=0符合题意;k存在时,设直线方程为kx﹣y+1=0,圆心到直线的距离1,∴k,∴直线方程为3x+4y﹣4=0.综上所述,直线方程为x=0或3x+4y﹣4=0.17.【答案】(1)(2).【详解】(1)解:由椭圆的焦点为,可得,即,又由椭圆的定义,可得,因为的周长为,可得,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.(2)解:设点,且,,则,因为,可得,解得,即,将代入椭圆,可得,即,解得,所以点的坐标为.18.【答案】(1)见解析;(2)【详解】试题分析:(1)要证线面垂直,就是要证线线垂直,题中由平面,可知,再分析已知由得,这样与垂直的两条直线都已找到,从而可得线面垂直;(2)求二面角的大小,可心根据定义作出二面角的平面角,求出这个平面角的大小,本题中,由于,平面,因此两两垂直,可以他们为轴建立空间直角坐标系,写出图中各点的坐标,求出平面和平面的法向量,向量的夹角与二面角相等或互补,由此可得结论.试题解析:(1)证明:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE由CE=2,CD=DE=得CDE为等腰直角三角形,故CDDE由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE平面PCD(2)解:由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE=,如(19)图,过点D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,故FB=2.
由ACB=得DFAC,,故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以的方程为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0,),P(0,0,3),A(,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),设平面的法向量,由,,得.由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量可取为,即.从而法向量,的夹角的余弦值为,故所求二面角A-PD-C的余弦值为.考点:考查线面垂直,二面角.考查空间想象能力和推理能力.19.【答案】(1)9(2)(3)【详解】(1),所以.(2)设动点Px,y为直线上一点,则,所以
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