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第八章多元函数微分学第一节多元函数的概念一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明:若不需要强调邻域半径
,也可写成点P0
的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束
2.
区域(1)
内点、边界点设有点集
E
及一点
P:
若存在点P
的某邻域U(P)
E,
如果点
P
的任一邻域内既含有E的内点,又含有则称P为E
的内点;的点,则称P为E
的边界点.机动目录上页下页返回结束显然,E
的内点必属于E,
E
的也可能不属于E.边界点可能属于E,不属于ED(2)开区域及闭区域
若点集E
的点都是内点,则称E
为开集;
若点集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,
开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D
是连通的;
连通的开集称为开区域
,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。
E
的边界点的全体称为E
的边界,记作
E;例如,在平面上开区域闭区域
机动目录上页下页返回结束
整个平面
点集是开集,
是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.机动目录上页下页返回结束o
区域D,若能包含在一个以原点为圆心的圆内,则称
D
为有界域
,
界域
.否则称为无二、多元函数的概念引例:
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束定义1.
设D
是xoy面上的机动目录上页下页返回结束非空点集,如果对于D内任意一点,变量的值与之对应,则称按照一定的法则总有唯一确定是变量的二元函数。记作:点集称为函数的定义域,称为自变量,也称为
因变量,数集称为该函数的值域。
类似地可定义其它多元函数。例1.
(1)一张黑白照片的灰度是照片上每一点坐标的函数:(2)黑白电视,在时刻屏幕上的坐标为处的灰度:(3)在一个有火炉的房间里,在时刻房间里坐标为的点处温度是的函数:它称为温度分布函数.定义域为机动目录上页下页返回结束(1)例2.求函数的定义域:解:由得故定义域为机动目录上页下页返回结束(2)解:由得例如,
二元函数定义域为圆域说明:
二元函数
z=f(x,y),(x,y)
D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.二元函数的几何意义:又如,的图形是一张旋转抛物面。内容小结1.区域
邻域:
区域连通的开集2.多元函数概念n
元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束备用题1.设求解
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