福建省福州第四中学2024-2025学年高三上学期第一学段考试数学试题含答案

2024-2025年福州四中第一学期第一学段试卷高三数学一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设α是第二象限角，P（x，8）为其终边上的一点，且sinα=45，则A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣102．已知直线ax+2y+6＝0与直线x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，则实数a的值（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2 D．13．若x，y∈R，则“2x﹣2y＞0”是“ln（x﹣y）＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列四个数中最大的是（）A．lg20 B．lg（lg20） C．（lg20）2 D．15．将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于点(3π4A．13 B．1 C．53 D6．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）A．72π24B．73π24C7.已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（）A.B. C. D.8．已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ax+1，则f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及点Q（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．点C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m+1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[22，62]11.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.为奇函数C.是的极小值点D.在上有极值三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________．13．已知f(x)=4x-1，x≥0log2(1-x)，x＜014．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知为数列前项和，若.（1）求证：数列为等比数列；（2）令，若，求满足条件的最大整数.16．（15分）已知直线l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，记l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A．（1）当m＝2时，求原点关于直线l1的对称点坐标；（2）求证：不论m为何值，△ABC总有一个顶点为定点；（3）求△ABC面积的取值范围．（可直接利用对勾函数的单调性）．17.（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB=3（1）求证：BC⊥PB；（2）若点E为棱PA上不与端点重合的动点，且CE与平面PAB所成角正弦值为255，求E点到平面PCD18.（17分）在中，角的对边分别为.（1）求；（2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.19.（17分）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，x∈R，求的值域.

2024-2025年福州四中第一学期第一学段试卷高三数学参考答案与试题解析一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设α是第二象限角，P（x，8）为其终边上的一点，且sinα=45，则A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣10【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数定义即可求解．【解答】解：因为P（x，8）为其终边上的一点，且sinα=4所以sinα=8x2+8因为α是第二象限角，所以x＝﹣6．故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知直线ax+2y+6＝0与直线x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，则实数a的值（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2 D．1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据平行的充要条件可得a的值．【解答】解：因为直线ax+2y+6＝0与直线x+（a+1）y+a2+5＝0互相平行，可得a（a+1）﹣2＝0，且2（a2+5）≠6（a+1），解得a＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．3．若x，y∈R，则“2x﹣2y＞0”是“ln（x﹣y）＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分不必要条件的判断．【分析】根据指数函数的性质与充分必要条件的定义可解．【解答】解：若x，y∈R，则2x﹣2y＞0，x＞y，则x﹣y＞0，不能推出x﹣y＞1，也就不能推出ln（x﹣y）＞0，则充分性不成立；又ln（x﹣y）＞0，则x﹣y＞1，则x﹣y＞0，即x＞y，能推出2x﹣2y＞0，则必要性成立；则“2x﹣2y＞0”是“ln（x﹣y）＞0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查指数函数的性质与充分必要条件的定义，属于基础题．4．下列四个数中最大的是（）A．lg20 B．lg（lg20） C．（lg20）2 D．1【考点】对数运算求值．【分析】结合对数运算性质判断lg20的范围，然后检验各选项即可判断．【解答】解：因为lg20＝lg2+1∈（1，2），所以lg（lg20）∈（0，1），lg（lg20）＜lg20，（lg20）2＞lg20＞1，1lg20故最大值为（lg20）2．故选：C．【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．5．将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于点(3π4A．13 B．1 C．53 D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，所得函数的解析式为y＝sinω（x-π4），再根据正弦函数的图象的对称性，求得【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移π4个可得y＝sinω（x-π4）＝sin（ωx-ωπ再根据所得图象关于点(3π4，0)对称，可得ω•3π4•-ωπ4求得ω＝2k，k∈Z，结合所给的选项，可取ω＝2，故选：D．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）A．72π24 B．73π24 C【考点】圆台的体积．【分析】求出圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可．【解答】解：如图所示，圆台的母线长为AP＝1，设上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为R，由题意可得，π×1＝2πr，π×2＝2πR，解得r=12，R＝所以圆台的高为h=1所以圆台的体积为V圆台=13π[(12)2故选：B．【点评】本题考查了圆台侧面展开图的理解与应用，以及圆台体积公式运用问题，是基础题．7.已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由已知可得，进而可求离心率.【详解】由题意可知，，则，设，则，所以，故的离心率为.故选：C.8．已知函数f（x）的定义域为R，且f（2x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝ax+1，则f（2025）＝（）A．0 B．1 C．2 D．2025【考点】函数的奇偶性．【分析】由函数奇偶性，确定f（x）为周期函数，再结合f（﹣1）＝0，求得a，即可求解．【解答】解：因为f（2x﹣1）为奇函数，所以f（x）关于点（﹣1，0）中心对称，又f（x+1）为偶函数，所以f（x）关于直线x＝1对称，所以f（x）为周期函数且周期T＝4×|1﹣（﹣1）|＝8，∴f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝a+1，∵f（﹣1）＝﹣a+1＝0，∴a＝1，∴f（2025）＝a+1＝2．故选：C．【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误.【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确；对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B错误；对于C，函数在上单调递增，函数在R上单调递增，所以函数在上单调递增，故C错误；对于D，函数在上单调递减，函数在0,+∞上单调递增，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：AD.10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0及点Q（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．点C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外 C．若点P（m，m+1）在圆C上，则直线PQ的斜率为14D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[22，62]【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【分析】把圆的方程化为标准方程可得圆心C的坐标可判断A，求出CQ两点的距离可判断B，利用点P在圆上求出m得点P的坐标，可求PQ的斜率可判断C，求出|CQ|的长，利用数形结合可求|MQ|的范围可判断D．【解答】解：把圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45＝0化为（x﹣2）2+（y﹣7）2＝8，所以圆心C的坐标为（2，7），故A正确；因为C（2，7），Q（﹣2，3）两点之间的距离为(-2-2)2+(3-7)2因为点P（m，m+1）在圆C上，所以（m﹣2）2+（m+1﹣7）2＝8，解得m＝4，即P（4，5），所以直线PQ的斜率为3-5-2-4=1因为圆心C（2，7），半径r＝22，CQ=42，所以CQ-r≤即22≤MQ≤62故选：ABD．【点评】本题考查圆的相关知识，以及求圆上一点到一定点的距离的最大值与最小值，属基础题．11.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.为奇函数C.是的极小值点D.在上有极值【答案】ABC【解析】【分析】由对称中心的定义代入验证可得满足，即可知A正确；利用奇函数定义化简可得B正确，对函数求导并判断出函数在上的单调性，即可判断C正确，利用辅助角公式化简并根据正弦函数图象性质可判断D错误.【详解】对于A，由易知,即满足，所以的图象关于点对称，可得A正确；对于B，易知，满足奇函数定义，即可得为奇函数，即B正确；对于C，求导可得，不妨只研究当时的单调性，当时，，当时，，可知函数上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，所以是的极小值点，即C正确.对于D，由可知，当时，，此时函数在上是单调递减的，因此在上没有极值，即D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用中心对称函数性质验证选项中的对称中心是否满足中心对称表达式，并充分利用三角函数性质解决极值点问题.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先写出命题“，”的否定，由题可知其为真命题，然后利用的范围求得的范围即可.【详解】由题意得“，”是真命题，故，因为，所以m的取值范围是．故答案为：13．已知f(x)=4x-1，x≥0log2(1-x)，x＜0【考点】函数的值．【分析】首先根据分段函数求出f（﹣4），然后根据f（﹣4）的值求出f（f（﹣4））的值即可．【解答】解：因为f(x)=4由题意，可得f（﹣4）＝log25，又log25＞1，故f(f(-故答案为：254【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．14．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为3π．【考点】圆柱的体积．【分析】该几何体的体积是底面半径为1，高为2的圆柱的体积的32倍【解答】解：与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积是底面半径为1，高为2的圆柱的体积的32倍则该几何体的体积为32×π×1故答案为：3π．【点评】本题考查了空间几何体的体积，重点考查了圆柱的体积公式，属基础题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知为数列的前项和，若.（1）求证：数列为等比数列；（2）令，若，求满足条件的最大整数.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证.（2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解.【小问1详解】证明：由可得，当时，，解得，……2分当时，，即，则，即，……4分即，即，……5分又，所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.……7分【小问2详解】由（1）得，则，……8分设，则……10分令，得，即，即，……12分又，，，所以满足条件的最大整数为为5.……13分16．（15分）已知直线l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，记l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A．（1）当m＝2时，求原点关于直线l1的对称点坐标；（2）求证：不论m为何值，△ABC总有一个顶点为定点；（3）求△ABC面积的取值范围．（可直接利用对勾函数的单调性）．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；恒过定点的直线．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）（-8（2）证明见解答．（3）14【分析】（1）当m＝2时，直线l1的方程为：l12x﹣y+2＝0，设原点关于直线l1的对称点为（x0，y0），利用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；（2）联立方程得出l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1）从而可以证明结论．（3）求得l1与l2的交点的坐标，可得AB长，再求得点C（﹣1，0）到l2的距离d，求△ABC的面积的取值范围．推出三角形面积的表达式，分类讨论，利用基本不等式可得结果．【解答】解：（1）当m＝2时，直线l1的方程为：2x﹣y+2＝0，且斜率k1＝2，设原点关于直线l1的对称点为（x0，y0），则由斜率与中点坐标公式列方程得：y0x0=-解得：x0=-85y0（2）证明：根据题意得l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1），∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（﹣1，0）．……8分（3）由mx-y+m=0x+my-m(m+1)=0，得l1与l2的交点为：A……10分由两点间距离公式得AB=11+m2点C（﹣1，0）到l2的距离为：d=|-1-m-m2|三角形面积S=12|AB|⋅d=12•11+当m＝0时，有m1+m当m＞0时，有m1+m2=1m+1当m＜0时，m1+m2=1m+所以，-12≤m1+m【点评】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用，考查了对称问题以及分类讨论思想的应用，属于综合题．17.（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB=3（1）求证：BC⊥PB；（2）若点E为棱PA上不与端点重合的动点，且CE与平面PAB所成角正弦值为255，求E点到平面【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）330【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到BC⊥平面PAB，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，由CE与平面PAB所成角正弦值为255，得到【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB……2分∵PB⊂平面PAB，故BC⊥PB；……4分解：（2）∵△PAB中PA2＝AB2+PB2，∴PB⊥AB，……6分以B为原点如图所示建系：……7分B(0，AE→=λAP→=(λ，0，取平面PAB法向量n1sinθ=n1→⋅CE→|n1→则E(-取平面PCD法向量n2→=（x，y则n2→⋅CD→=0n2故d=|CE→⋅【点评】本题考查了线线垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．18.（17分）在中，角的对边分别为.（1）求；（2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.【答案】（1）