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文档简介

第四节机动目录上页下页返回结束多元复合函数与隐函数的微分法一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则机动目录上页下页返回结束若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

对x

求导,表示固定v

对x

求导与不同,机动目录上页下页返回结束例1.设解:机动目录上页下页返回结束例2.解:机动目录上页下页返回结束例3.设

求全导数解:机动目录上页下页返回结束注:在这里，函数z

是通过三元函数z

=

f

(u,v,t)而成为t的一元复合函数.因此，z对t的导数又称为z对t

的全导数.例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束二、多元复合函数的全微分这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论u，v是自变量还是中间变量，函数z

=

f(u,v)的全微分的形式是一样的.即例6.,利用全微分形式不变性

解:机动目录上页下页返回结束已知求内容小结1.复合函数求导的链式法则例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束课外作业:

P176.2，3（1），（2），5。思考与练习解答提示:

题1机动目录上页下页返回结束……

题2机动目录上页下页返回结束题3第五节目录上页下页返回结束

第八章第四节机动目录上页下页返回结束一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数的微分法本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,

方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.机动目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件机动目录上页下页返回结束导数两边对x求导在的某邻域内则机动目录上页下页返回结束例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:

令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在单值可且机动目录上页下页返回结束并求定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束两边对x求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束例2.设解法1利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束解法2

利用公式设则机动目录上页

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