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第二节机动目录上页下页返回结束一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数

第八章一、偏导数定义及其计算法引例:设由机动目录上页下页返回结束组成的一个并联电路中，若问改变哪一个电阻，对总电阻的变化影响最大？解：由并联电路可知即改变电阻值较小的电阻，对总电阻的变化影响最大。定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数是

x,y的函数,记为机动目录上页下页返回结束（或

y

）的偏导数存在,称为函数z=f(x,y)对自变量

x(或y)的偏导函数,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束例2.

设证:例3.

求的偏导数.解:求证机动目录上页下页返回结束偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,二、高阶偏导数设z=f(x,y)在定义域D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶机动目录上页下页返回结束偏导数为例5.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及则证明目录上页下页返回结束定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有(证明略)内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法

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