高等数学课件 12-2矩阵及其运算

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作第二节矩阵及其运算简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：特殊的矩阵形如的方阵称为对角阵．

特别的，方阵称为单位阵．记作记作．同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．可用矩阵表示为一般地，矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．例：设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例P.35例5

结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律(3)

乘法对加法的分配律(2)

数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例转置矩阵的运算性质例：已知解法1解法2定义：设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵例：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质证明：要使得|AB|=|A||B|

有意义，A、B

必为同阶方阵，假设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我们以

n=3为例，构造一个6阶行列式令，则

C=(cij)=