2023年北京市二中初三保温卷数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京二中初三保温卷数学考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题纸6页．全卷共三大题，28道小题．2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．4．考试结束，将答题纸和机读卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.三棱锥 B.三棱柱 C.圆柱 D.长方体3.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.4.下列运算结果正确的是()A. B. C. D.5.掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（）A.一定是 B.随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性C.一定不是 D.随着m的增大，越来越接近6.以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（）A. B. C. D.7.已知，，，，那么精确到的近似值是（）A. B. C. D.8.下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本题共16分，每题2分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10.方程的解为_________．11.二元一次方程组的解为________．12.在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图像上，则_________（填“”“”或“”）．13.如图，点在上，，，则______．14.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为______．15.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________．16.有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______．三、解答题（本题共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）17.计算：．18.解不等式组：19.下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，．求证：，．方法一：证明：如图，连接AC．方法二：证明：如图，延长BC至点E．方法三：证明：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O．20.关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．21.如图，将菱形的边和分别延长至点E和点F，且使，，连接，，，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．22.已知点P（1，3），Q（3，m）是函数图象上两点.（1）求k值和m值.（2）直线与的图象交于A，直线与直线平行，与x轴交于点B，且与的图象交于点C.若线段OA，OB，BC及函数图象在AC之间部分围成的区域内（不含边界）恰有2个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围.（注：横纵坐标均为整数的点称为整点）23.门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图：b．丙组同学参赛作品得分：9499109108810c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数甲组8.699乙组8.68.5丙组8.69根据以上信息，回答下列问题：（1）表中_____，______；（2）在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______组同学的参赛作品评价更一致（填“甲”或“乙”）（3）如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）．24.如图，为的直径，为弦，射线与相切于点A，过点O作交于点D，连接．（1）求证：是的切线；（2）过点B作交的延长线于点E，连接交于点F．若，，求的长．25.如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法，如图2，点O处由一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙，建立如图所示的平面直角坐标系，已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y00.882.162.802.882.802.56①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并说明理由．（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：A.；B.；C.；D.．其中正确的不等式是__________．（填上所有正确的选项）26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若，当时，求y的取值范围；（3）已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．27.如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为BC中点．点P为AB边上一动点，点D为BC边上一动点，连接DP，以点P为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90°，得到线段PE，连接EC．（1）当点P与点A重合时，如图2．①根据题意在图2中完成作图；②判断EC与BC的位置关系并证明．（2）连接EM，写出一个BP的值，使得对于任意的点D总有EM＝EC，并证明．28.对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．（1）已知，若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；（2）已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．

参考答案第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1.【答案】C【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．2.【答案】B【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得．【详解】解：∵主视图和左视图是矩形∴该几何体是柱体，∵俯视图是三角形，∴该几何体是三棱柱，故选：B．【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体．3.【答案】A【分析】先由数轴得到，进而根据点在数轴的位置判断式子的正负逐项判断即可．【详解】解：由数轴得，∴，，，，∴选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查实数与数轴，从数轴上确定a、b的取值范围以及根据点在数轴的位置判断式子的正负是解答的关键．4.【答案】C【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则，依次对各选项分析找出正确的选项．【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意；B．，故该选项错误，不符合题意；C．，故该选项正确，符合题意；D．与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查幂的相关运算，同类项，熟练掌握这些运算法则是解决此题的关键．主要考查幂的相关运算有：同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方运算．5.【答案】B【分析】利用频率估计概率求解即可．【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性，故选：B．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.6.【答案】D【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可．【详解】解：A选项：最小旋转角度；B选项：最小旋转角度；C选项：最小旋转角度；D选项：最小旋转角度；综上可得：旋转的角度最小的是D．故选：A．【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是．7.【答案】B【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可．【详解】解：，，，，精确到的近似值是，故选B．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．8.【答案】D【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断．【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确；②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确；③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本题共16分，每题2分）9.【答案】【分析】根据分式的分母不等于零求解即可．【详解】解：∵代数式有意义，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解答的关键．10.【答案】【分析】先将分式方程转化为整式方程，再解方程，检验即可．【详解】解：方程两边同乘，得，即，解得，经检验，是原方程的解，故答案为：．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．11.【答案】【分析】方程组利用加减消元法求解即可【详解】解：，①×8−②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝−1，故方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法．12.【答案】【分析】根据反比例函数的性质，当，在每个象限内，y随x的增大而增大，进行判断即可．【详解】解：∵，在每个象限内，y随x的增大而增大，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．13.【答案】##100度【分析】利用同弧上的圆周角相等将已知与待求的角集中在中即可求解．【详解】∵点A、B、C、D在上，∴，（同弧上的圆周角相等）∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内．14.【答案】6【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积．【详解】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等，∴的面积的面积，∵的面积为4，∴的面积是6．故答案为：6．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．15.【答案】【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．【详解】解：都是正方形，，，，，与的面积比为，，设，则，，在中，，由“青朱出入图”可知：，．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．16.【答案】①.B②.4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，第二行中c为白3，第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，第二行中e为白4．故答案为：①B，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（本题共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）17.【答案】4【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．18.【答案】【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案．【详解】解：解不等式①，得解不等式②，得在数轴上表示不等式①、②的解集，所以这个不等式组的解集是．【点睛】本题考查的是解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．19.【答案】见解析【分析】方法一：通过证明△与△全等即可证明角相等；方法二：利用平行线的性质及互补的关系即可；方法三：利用两直线平行内错角相等的性质解题即可．【详解】方法一：证明：∵，∴∴∴即在△与△中∴∴方法二：证明：∵，∴∴∴又∵，∴方法三：证明：∵，∴∴∴，即【点睛】本题主要考查平行四边形的性质的运用，能够熟练运用平行四边形的性质得到三角形全等及角度的等量关系是解题关键．20.【答案】，此时方程的根为【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，

∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，

解得：m≤1，

∵m为正整数，

∴m=1，

∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，

则（x-1）2=0，

解得：x1=x2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．21.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，根据矩形的判定可证得结论；（2）过B作交延长线于G，证明和是等边三角形得到，，分别在、、中，分别利用直角三角形得性质和勾股定理求得，，，即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，∴，∴四边形是矩形；【小问2详解】解：过B作交延长线于G，则，∵四边形是菱形，，∴，，∴和是等边三角形，∴，，∵四边形是矩形，∴，在中，，∴，在中，，∴，则，∴，在中，．【点睛】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．22.【答案】（1）；（2）2<b≤3或b<-3.【分析】先将P点代入求出函数表达式，然后将Q点代入求出m的值；b的值未给定时，要从b>0与b<0两种情况下分别讨论，得到b的取值范围即可.【详解】(1)∵点P（1，3）在函数图象上∴∴k=3∴函数表达式为∵Q（3，m）在函数图象上∴（2）观察函数图像可知2<b≤3或b<-3.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是结合函数图像进行求解.23.【答案】（1）8，9（2）乙（3）丙【分析】（1）根据中位数、众数的定义，即可求解；（2）分别计算甲、乙两组的方差，即可求解；（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三组的最后得分，即可得出结论．【小问1详解】解：乙组的成绩中8分出现的次数最多，出现了5次，故乙组的众数为8分，即，丙组的得分从小到大排列为：4889999101010第5个与第6个得分都为9分，故丙组得分的中位数为：，故答案为：8，9；【小问2详解】解：甲组得分的方差为：，乙组得分的方差为：，，评委对乙组同学的参赛作品评价更一致，故答案为：乙；【小问3详解】解：甲组最后得分为：，乙组最后得分为：，丙组最后得分为：，，参赛作品最优秀的是丙组同学，故答案为：丙．【点睛】本题考查了折线统计图，加权平均数，众数，中位数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连接，先利用切线性质得到，再利用平行线的性质、等腰三角形的性质证得，进而证明得到，然后利用切线的判定证得结论；（2）如图，过E作于H，证明四边形是矩形，得到，，设，则，根据切线长定理和勾股定理求得，，证明得到求解即可．【小问1详解】解：连接，∵射线与相切于点A，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，又，，∴，∴，又为的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：如图，过E作于H，则，∴四边形是矩形，∴，，设，则∵，∴与相切，又射线与相切于点A，是的切线，∴，，∴，在中，由勾股定理得，解得，即，在，由勾股定理得，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得．【点睛】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相关知识的联系与性质是解答的关键．25.【答案】（1）①；②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，理由见解析（2）A，C【分析】(1)①设抛物线解析式为，把代入解析式确定a值即可．②根据抛物线的对称性解答即可．（2）根据题意，得到当时，，当，，转化成x的代数式即可．【小问1详解】①由题意可设所求的的函数关系式为．∵点（0，0）在该函数的图像上，∴．解得．故求的的函数关系为．即．②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．理由如下：∵当时的函数值与当时的函数值相等，∴当时，．∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．【小问2详解】根据题意，得到当时，，当，，∵∴，，故选A，C，故答案为：A，C．【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线的对称性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．26.【答案】（1）直线（2）（3）或【分析】（1）根据对称轴为直线代入求解即可；（2）根据，比距离对称轴远，分别求得时的函数值即可求解；（3）分两种情况讨论和时．【小问1详解】解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线；【小问2详解】解：当时，抛物线解析式为，∴对称轴，抛物线开口向上，∴当时，取得最小值，即最小值为，∵离对称轴更远，∴时取得最大值，即最大值为，∴当时，y的取值范围是；【小问3详解】解：∵，∴，，即；或，，即，∵抛物线对称轴，∴是抛物线顶点坐标，若，则抛物线开口向上，，在对称轴的右侧，当在对称轴右侧时，，解得：；当在对称轴左侧时，，解得：，不符合题意；∴a的取值范围是；若，则抛物线开口向下，，在对称轴的右侧，当在对称轴右侧时，，解得：，不符合题意，当在对称轴左侧时，，解得：；∴a的取值范围是；综上所述：a的取值范围是或；【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】（1）①作图见解析；②EC⊥BC．证明见解析；（2）EM＝EC．证明见解析；【分析】（1）①由题意直接根据要求画出图形即可．②结论：EC⊥BC．证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE=∠B=45°即可解决问题．（2）由题意可知当BP=时，总有EM=EC．如图3中，作PS⊥BC于S，作PN⊥PS，并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BC于Q，连接EM，EC．通过计算证明QM=QC，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【详解】解：（1）①图形如图2中所示：②结论：EC⊥BC．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠E